3一元二次方程知识精讲(2014-2015)

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1、CU一元二次方程"知识网络图''M皋本概念直开法配方法公式法因式分解法两个不筹实根两个相等实根无实根A>0•元二次方程根的判别式△=b2-4ac«△=0A<0根与系数的关系而积问题-元二次方程的实际问题商品利润问题传播问题增长率问题一、一元二次方程的概念1、只含冇一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.2、一般形式：ax2+bx+c=0(ci0)3、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）【注意】1、定义的隐含条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未

2、知数的最高次数是2.2、任何一个关于兀的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。其中，以2是二次项，。是二次项系数；加是一次项，方是一次项系数；。是常数项.二、一元二次方程的解法1、肓接开平方法：方程的一边可化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，那么可用宜接开平方法解这类方程.2、配方法：（1）将方程的左边化成一个含冇未知数的完全平方式，右边是一个非负数，这样，我们可根据平方根的定义，把方程两边开平方，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：第一步：二次项系数化为1,

3、方程两边都除以二次项的系数；第二步：移项：将常数项移到方程的右边；笫三步：配方：方程两边都加上一次项系数-半的平方，把原方程化为（X+加）2=〃的形式；第四步：求解：若方程右边的n为非负数，解可以根据平方根的定义求出方程的解.【注意】对于配方为（x+/h）2=h的一元二次方程，只有当〃no时，才可直接开平方求解；若"<0,方程无解・3、求根公式法：（1）求根公式：x="土松-仏（h2_4ac>0）2a（2）用公式法解一元二次方程的一般步骤：第一步：把一元二次方程化为一般形式；第二步：确定b、c的值；第三步:求

4、出戸-4必的值；第四步:若沪_4心0,则把a、b、c以及b2-4ac的值代入求根公式；若/r-4«c<0,则方程无解.4、因式分解法：（1）当一元二次方程整理成ax2-vbx+c=0时，如果町以因式分解，则可以选用这个方法.（2）因式分解法的一般步骤：第一步：将方程整理为一般形式；第二步：将方程左边因式分解，得到两个一次因式的积；第三步：令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；第四步：解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零.三、根的判

5、别式1、一元二次方程根的判别式：=b2-^ac2、根的判别式用來判别根的个数情况：（1）△>0o方程用+加+c=0（°H0）有两个不相等的实数根X]9=“土Jb—4ac2a（2）△=0o方程d+加+°=0（a丰0）冇两个相等的实数根斗=兀2=-上•（3）AvOo方程卅+加+—0（心0）没有实数根.3、一元二次方程根的判别式的应用（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的悄况，确定方程中字母系数的值或取值范围；（3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况.四、根与系数的关系一一韦达定理1、设一元二次方程

6、宀灰+c=0的两个根为旺，兀2,则两个根满足:a2、韦达定理的重耍推论推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是州，勺，那么州+兀2=_P，西.兀2=0・推论2:以两个数州，勺为根的一元二次方程（二次项系数为1）是（舛+勺）卄沪2=03、利用根与系数的关系，可知一元二次方程亦+加+c=O（g工0）有如下重要的结论：（1）若两根互为相反数，则--=0,得b=0；a（2）过两根互为倒数，则£=1,得d=c；a（3）过两个互为负倒数，则£=-1,得2-C；a（4）若冇一个跟是零，则-=0,得c=0；abc（5）若

7、两根都为零，贝IJ—=0,-=0,得b=0fc=0；aa（6）若有一根为1,则o+b+c=0；（7）若有一根为一1,贝lJd_b+c=0.五、用一元二次方程解决实际问题1、面积最大化问题2、利润最大化问题3、增长率问题4、传播问题解题方法技部”1、一元二次方程的整数根问题：对于一元二次方程川+办+c=0（心0）的实根情况，可以用判别式△4购来判别，但是对寸个含参数的一元二次方程來说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质.方程有整数根的

8、条件：如果一元二次方程加+c=0（。工0）有整数根，那么必然同吋满足以下条件：（1）S=b2-4ac为完全平方数；（2）_b+J/_仏=2ak或-b--4ac=2ak，其中R为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程冇冇理根（其中b、c均为有理数）2、降次法解求高次代数式的值.3、整体代入思想在降次法中的运用.4、公共根问题二次方程的公共根问题的一