6有理数的计算方法与技巧(含答案)-

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1、6.计算——工具与算法的变迁知识纵横研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断在改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机(computer)运算.初屮代数屮运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有：1•巧用运算律；2.用字母代数；3.分解相约；4.裂项相消；5.利用公式等.例题求题【例1】现有四个

2、有理数3,4,-6,10,将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算,使其结果等于24,其三种本质不同的运算式有：(1);(2);⑶.(浙江省杭州市屮考题)思路点拨从24最简单的不同表达式入手,逆推、拼凑.解:下列算式供参考：3X[4+10+(-6)],(10-4)-3X(-6),4-(-6)4-3X10.【例2】如果4个不同的正整数m、n、p、q满足(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4,那么m+n+p+q等于().A.10B.21C.24D.26E.28(2001年新加坡数学

3、竞赛题)思路点拨解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式.解:选E提示:4二2X(-2)X1X(-1)【例3】计算：(1)1+丄+—!—+・・・+!(“祖冲之杯”邀请赛试题)1+21+2+31+2+3+•••+100(2)19492-19502+19512-19522+-•-+19972-19982+19992;(北京市竞赛题)(3)5+52+53+-+52002.思路点拨对于(1),首先计算每个公分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；(2)式使人易联想到平方差公式;对于(3),由于相

4、邻的后一项与前一项的比都是5,可从用字母表示和式着手.初八、200七曰一112,11、解：⑴提不：二——二二2(—)1011+2+3+•••+«斤(卅+1)n/?4-12(2)3897326;(2)提示：设s=5+52+53+-+52(x)2,则5s=52+53+-+52(k)3.4【例4］⑴若按奇偶分类，则22004+32叫72004+920()4是数；(2)设a=355,bM44,c=533,则a、b、c的大小关系是(用“〉”号连接)；(3)求证:32002+42002是5的倍数.思路点拨乘方运算

5、是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算有关问题常用到以下知识:①乘方意义;②乘方法则;@a2n^0;@an与a的奇偶性相同;⑤在n畑中(k,r为非负整数,nHO,0^r<4),当一0时,严灯的个位数字与n4的个位数字相同；当rHO时,n4k+r的个位数字与『的个位数字相同.解：⑴奇;(2)a>b>c.(3)因为32002=34x500+2,42°°2二4曲弩所以32002与42002的个位数字分别与32、42的个数数字相同，即9、6,从而320024-42002的个位数字为5,因此32002+42002是

6、5的倍数.【例5］有人编了一个程序:从1开始,交替地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次运算结果加2或加3;每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3,例如，30可以这样得到:14丄匚8——10丄j30.⑴证明：可以得到22;(2)证明：可以得到2,00+297-2.思路点拨要证明可以得到相应的数，只要编出符合要求的程序即可.解:(1)1x2>212>4x2>842>10x2>20+2〉22;(2)1x2>3X2-4+2>3X2-2x2>3X22~4+2>3X22-2x2>3X23

7、-4p〉3X23-2-（不断乘以2,再加2）x2>3X296-4>3X296-lx3>299+296-3—旦T2"+2%-l一>2100+297-2.学力训练一、基础夯实1.(1)计算:211X(-455)+365X455-211X545+545X365=;小卄2004.20032002nilt,,...n/中(2)若a二-，b二-，c二-，则a、b、c的大小关系是(用〈200320022001号连接〉.43512.计算：(1)0.7X1—+2二X(-15)+0.7X-+-X(-15)=;9494（

8、第15届江苏省竞赛题）1919197676⑵7676761919（第12届“希望杯”邀请赛试题）⑶1+11+…+—=；（天津市竞塞题）3x55x71997x1999(4)(13.672X125+136.72X12.25-1367.2X1.875)4-17.09=（第14届“五羊杯”竞赛题）3.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号（不再添加括号），使得等式成立:6口3口2012=24.（第17届江苏省竞赛题）4.1999加上它的丄得到一个数，再加上所得