24最大值与最小值问题，优化的数学模型教学案1

《24最大值与最小值问题，优化的数学模型教学案1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、2.4最大值与最小值问题,优化的数学模型教学案1教学目标：通过这节课，使学生能够运用均值不等式定理来讨论与不等式有关的各类问题。教学重点、难点：均值不等式定理的灵活运用。教学过程：1.复习回顾2.例题讲解：例1：已知a>l,00A_10gab+^d^bM2寸（一logab）•二^而=2当且仅当—窗匸步即logab+logb

2、aW—2loga2b=l,logab=—1时,等号成立，此吋ab=l。例2：已知x,y为正实数，且x2+弓=1,求x寸1+y2的最大值.解题思路分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式abW弓X。同吋还应化简中y2前面的系数为

3、xpl+y2=x目2■=返x■寸*+罟下将x,寸*+号分別看成两个因式・・.xQl+y2=迈・x、/*+罟W扌迈3-4例3：己知x,y为正实数，3x+2y=10,求函数W=-/3x+y[2y的最值.解题思路分析：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，呼尹「严,本题很简单+*/2yW也y]）2+（^/2y）2=也寸3x+2y=2运否则

4、，这样思考：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢。W>0,W2=3x+2y+2伍•逅=10+2伍•逅W10+（伍）2•（逅）2=10+（3x+2y）=20・・・WW帧=2y[5例4：已知a,b为正实数，2b+ab+a=30,求函数丫=讣的最小值.解题思路分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放

5、缩后，再通过解不等式的途径进行。30-2ba=b+1ab=30-2bb+1一2b2+30bb+1由a>0得，0

6、理方法，请同学们仔细体A会。实际上，一般含二次式的分式函数y=ax2+bx+cmx2+nx+p(a,b,m,n,p不全为零）均可用此方法求解。例5：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。解题思路分析：这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外圈

7、周壁，屮间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。若设污水池长为x米,则宽为200x（米）水池外圈周壁长：2x+単（米）中间隔墙长：2•攀（米）池底面积：200（米2）目标函数：y=400(2x+2・)+248--2+80x200=800(x+甞1)+1600XXX+1600=448001.课堂小结注意利用转化思想，不等式使用的广泛性。2.课后作业1）正数a,b,c满足a+b+c=l,求证：（1—a）（l—b）（l—c）^8abc2）已知a>0,b>0,ab—（a+b）=l,求a+b的最小值。3）若直角三角形周长为1,求它的面积最

8、大值。4）某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m2的楼房，楼房的总建筑而积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%。己知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？