7、教师版三角函数周期性(含答案)

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1、考点六、三角函数周期性(-)周期性的基本概念一般地，对于函数fd),如果存在一个非零常数7；使得当x取定义域内的每一个值时，都有flx+T}=fg那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数厂叫做这个函数的周期.由此可知，2开,4刀，…，一2刀，—4刃,…2k兀IkEZ且AHO)都是正弦函数、余弦函数的周期.对于一个周期函数/(%),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f3的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数是周期函数且WHO)是它的周期，最小止周期是2”.正

2、切函数是周期函数，且周期T=jt(2)求三角函数的周期1、定义法求函数的周期2x1、求下列函数的周期(1)y=sin2x,(2)y=tan—•(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T,对于函数定义域内的每一个x值都能使sin2(x+T)=sin2x成立，同时考虑到正弦函数y=sinx的周期是2兀.解：•/sin2x=sin(2x+271)=sin2(x+7r),即sin2(x+<7r)=sin2x.当自变量由兀增加到x+龙时，函数值重复出现，因此j=sin2x的周期是龙.分析：根

3、据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T,对于函数定义7Or域内的每一个兀值都能使tan—(x+7)=tan—成立，同时考虑到正切函数y=Vdnx的3周期是龙.2r2r23232x解：•/tan——=tan(——+^)=tan—(%+—^),即tan—(x+—=tan—・33323232r3函数y二tan—的周期是一兀・32注意：1、根据周期函数的定义，周期卩是使函数值重复出现的自变量兀的增加值，f(2x+T)=f(2x周期不是7而是^T；2、“/(兀+T)=于⑴”是定义域内的恒等式，即对

4、于自变量兀取定义域内的每个值时，上式都成立.评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子f(x^T)=f(x)出发，设法找出周期丁中的最小正数(须用反证法证明).2、求下列三角函数的周期:y=sin(x+y)y=cos2xJT的周期.3.求函数f(x)=tan(2x+—)兀解：因为tan(2x+—+兀)=tan3“l,龙、71-3(2x+-)3即tan[2(x+—)+—]=tan(2x+—)233TTTT/.tan(2x—)的周期是一•322、公式法求函数周期对于函数y=Asin(s*+0)+B或y=

5、Acos(mr+°)+B的周期公式是T=,co对于函数y=Atan(6Ux+0)+B或y=cot(妙+°)+B的周期公式是T=1^11、求函数y=3sin(-x-—)的周期26解：T斗込.3322.设ghO,则函数>'=sin(ax+^)的最小正周期是()c・乎D.3.己知函数y=sin(69r+?)(e>0)的最小正周期是4A.3C.D.4.函数y=tan(ar+—)(°HO)的最小正周期为6D-a3、图像法1、求下列函数的最小正周期①y=

6、sinx

7、②ysin卜解：分别作出两个函数的图像知

8、①y=

9、sinx

10、的周期T=龙②y=sin

11、x

12、不是周期函数评注：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解z/xy/A/^—2—71Q冗2兀X▲4、最小公倍数法A1、设/（兀）与g（兀）是定义在公共集合上的两个三角周期函数，7；、7；分别是它们的周期，且T严T?,则/（劝土g（Jt）的最小整周期是7；、7；的最小公倍数.分数的最小公倍数=分子的最小公倍数分母的最大公约数1求函数y=sin3x+cos5x的最小整周期解：设sin3x>cos5x的最小整周期分别为£、7；

13、,叭斗,T吟y=sin3x+cos5x的最小整周期为2龙2求函数y=sin兀+cos*兀的周期解：Tsinx的最小正周期是£=2龙，cos—x的最小正丿制期是T2=47i.2・•・函数y的周期T=n^=n2T2,把7],近代入得2龙耳=4龙几即5=2©,因为®为正整数且互质，所以®=2,n2=l.函数y=sinx+cos^x的周期7"=n(T}=2x2^=4^・233求函数j=sin—x+cos—x的周期3422兀sin-x的最小止周期是T严弓323解:3兀,cos扌x的最小止周期是石2兀8龙T=

14、T4由谄W严知，9仆盹(叽为正整数且互质),2,4、求函数yI的最小正周期所以函数y=sin§x+coSkX的周期是丁=〃£=8x3^=24^・=sinx

15、+cosx

16、kjiIk兀sin(x+——)+cos(x+——2I2解：・・・sin.r+cosx(展Z)显然号中最小者是1.・.竺是函数y=

17、sinx

18、4-

19、cosx

20、的周期.下面证明兰是最小正周期2则存在0

21、sinx

22、+

23、cosx

24、的最小正周期,f(x+T)=

25、sin(x+T)

26、+

27、cos(x+T