304第2课时实际问题中二次函数的最值问题

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1、第2课时实际问题中二次函数的最值问题1.经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形最大面积、利润最大问题.60—解：(1)根据题意，得S=—7^%=-/+30t.自变量x的収值范围是0VxV30.—、情境导入孙大爷要I詞成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形力駁力设弭〃边的长为丸米，矩形力规的面积为S平方米.当x为何值吋，S有最大值

2、？并求出最大值.(2)S=—x+30x=—{x—15)A花圃B二、合作探究探究点一：最大面积问题【类型_］利用二次函数求最大面积小李想用篱笆］詞成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长*单位：米)的变化而变化.求S与X之间的函数关系式，并写11!自变量X的取值范围;当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数.(1)矩形一边长为x,则另一边长为6°；",从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标.+225,V^=—KO,*.

3、S有最大值,即当%=15(米)时,S最大值=225平方米.方法总结：二次函数与tl常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性.解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系.【类型二］最大面积方案设计施工队要修建一个横断而为抛物线的公路隧道，其髙度为6米，宽度0M为12米.现以0点为原点，如所在直线为才轴建立直角坐标系(如图所示).(1)直接写出点財及抛物线顶点P的坐标;(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭

4、建一个矩形“脚手架”CDAB,使力、〃点在抛物线上，B、C点在地面0%上.为了筹备材料，需求岀“脚手架”三根木杆血/、AD、化的长度Z和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下.(2)设这条抛物线的函数关系式为丁=自匕一6尸+6,因为抛物线过0(0,0),所以臼(0-6)2+6=0,解得，心一*,所以这条抛物线的函数关系式为：尸一扣一6尸+6,即尸~x+2x.6(3)设OB=m米，则点力的坐标为(/〃，一扮+2刃)，所以AB=DC=+2/n.根据抛物66线的轴对称，可得OB=CM=m,所以况=12—

5、2/〃，即加=12—2/〃，所以1=AB+AD+DC=—i+2///+12—2/77—+2m=+2m+12=—7(ui—3)2+15.所以当刃=3,即OB=3米时，6633三根木杆长度之和/的最大值为15米.探究点二：最大利润问题013【类型_]利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展.某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约

6、能源消耗2元，但一天产量减少4件.生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议.解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润=一天生产的产品件数X每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议.解：设该厂生产第/档的产品一天的总利润为F元，则有尸[10+2U—1)][76—4匕—・

7、1)]=—8#+128x+640=—8(x—8)2+1152.当x=8时，ya大值=1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大.建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品.(其他建议，只要合理即可)【类型二]利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价口(元)与销售时间第/月Z间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本乃(元与销售时间第/月满足函数关系式yi=mx—^nix+n,其变化趋势如图②所示.(1

8、)求咒的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？图①图②9/»—24/〃+〃=6,解：(1)由题意可得，函数乃的图象经过两点(3,6),(7,7),:Ar,刁解149/27-56/7/+/?=7,j-1///=8，163得<…•：乃的解析式为乃=尹一“+百(1W/W⑵•63S3、刀=§.pu+方=11,(2)设y,=kx+b.V函数口的图象过两点(4,11),⑻10)…••仁…，“解得1k=1<4・・」的解析式为y尸一犷+12(lWxW12)・设这种