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《函数与方程思想 高三理科 精短稿》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、函数与方程的思想055350河北隆尧一中焦景会电话：13085848802函数思想是一种通过构造函数从而应用函数性质解题的思想方法，深刻理解函数的具体特性，是应用函数思想解题的基础，恰当的构造函数和妙用函数性质是解题的关键；方程的思想是对方程概念的本质认识，就是利用数学中的变量间的等量关系，建立方程或方程组或构造方程，通过解方程（组），或运用方程性质去分析转化问题，从而使问题解决。函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0，通过方
2、程进行研究。一、运用函数与方程、不等式相互转化的观点解决问题问题1、已知函数且，（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性，并予以证明；（3）当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围。这是大纲人教版高一课本上一道参考例题，解答过程此处不再重复。类似的看下面问题。演变1、已知函数f(x)=logm，(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的单调性，并加以说明；(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由。解
3、（1）x＜–3或x＞3。∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3。设β≥x1＞x2≥α，有，当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数。（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］，∵0＜m＜1,f(x)为减函数，∴，即，，即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根，∴，∴0＜m＜，故当0＜m＜时，满足题意条件的定义域区间［α,β］存在。点评：本题包含了函数的性质，方程思想的应用，函数单调性的定义判断法，单调性的应用，方程根的分布，不等式组解法，体现了函数与方程、不等式之间
4、的相互转化关系。演变2、设，，是函数的反函数图象上不同的三点，若有且只有一个实数x使得成等差数列，求实数a的取值范围。解：由已知可得，，又成等差数列，，故问题转化为方程只有一个实根的条件，即。（1）当，即，亦即时，，满足满足条件。（2）当，即时，。，即满足条件，故有，解得。又当时，P，Q，R三点重合，，所以所求实数a的取值范围或。O1xy图2y=a点评：运用方程的观点解决问题要注意从问题的结构入手，抓住一个关键变量，将等式看成关于这个主变量（常称主元）的方程，然后具体研究这个方程。O1xy图1二、构造函数或方程解决有关问题。问题2、画函数图象。-3O4xu这
5、是大纲人教版高一课本上一道复习参考题，图象如图1。演变3、讨论方程的解的个数。解：设，，作出函数图象,如图2，两图象交点个数即方程解的个数。故当或时，方程有两解；当时，方程有三解；当时，方程有四解。演变4、已知方程，且，，求方程两根之和。y图3Ox解：设，，，如图3所示。当时，曲线与有两个交点，且关于直线对称，，即两根之和为。演变5、已知整系数二次方程在中有两个不同的解，求最小正整数m。解：设，有两根，则f(x)可表示为，而f(x)为整系数函数，故……………………（1），………………（2），由得…………（3），而…………（4），同理…………（5）。由（4），
6、（5）得，结合（3）得，。假设m=5，则,,应为整数。若，,知分别为，，此时m=5,p=1，故m的最小值为5。点评：题中除未知数外含三个字母，且均为整数，按常规列出：，再根据，进行分析，但这种解法十分麻烦。本题解法思路开拓，不生搬硬套，这是现行高考的基本要求。练一练1、对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点。已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)。（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若
7、y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值。解（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3，故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3。（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根，∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立。于是Δ′=(4a)2–16a＜0，解得0＜a＜1，故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动
8、点时，0＜a＜1。（3）由题意A、B两点应在直线y=
