例谈函数解析式的求法

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1、例谈函数解析式的求法一、解析式的表达形式解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。1、一般式是大部分函数的表达形式，例一次函数：二次函数：反比例函数：正比例函数：2、分段式若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。(注意分段函数的定义域和值域)例（2001上海）设函数，则满足的x的值为。解：当时，由得，，与矛盾；当时，由得，。∴3、复合式若y是u的函数，u又是x的函数，即，那么y关于x的函数叫做f和g的复合函数。例已知，则，。解：二、解析式的求法根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、

2、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。函数的解析式是表示对应关系的式子，是函数三种表示法中最重要的一种，对某些函数问题，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出函数的解析式．本文就常见的函数解析式的求法归类例析如下：　　1．图象法Ｏｘｙ１１－１　　例１　已知函数＝的图象如图所示．　　　　　求函数的解析式．　　解：由图知函数是分段函数，分别对每段求解析式易得　　　＝评注：已知函数图象，求函数解析式，对于这类问题，我们只要能够准确地应用题中图象给出的已知条件确定解析式即可．　　２．配凑法（满足范围才能取代）　　例２　已知．求得解析式．解：∵　　

3、　　　　　　　　　＝　　　　∴　＝－２－２　（≠１）评注：已知＝，求的问题，可先用表示，然后再将用代替，即得的解析式．例已知，求。解：，（）。例已知，求。解：，（）。例已知：，求。解：∴注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制；2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。３．换元法（满足范围才能取代）　　例３　已知＝，求函数的解析式．　　解：令，则＝（引入新元要标注范围）∴　　从而评注：已知＝，求的问题，若用配凑法难求时，则可设＝，从中解出，代入进行换元来解．在换元的同时，一定要注意“新元”的取

4、值范围．　　４．待定系数法当函数类型给定，且函数某些性质已知，我们常常可以使用待定系数法来求其解析式。　　例４　求一次函数，使得＝解：设一次函数为，　则，＝由已知可得＝，比较系数得：，解得　　　∴　＝＋２例已知二次函数满足，，求。解：设函数为，将代入得，解得，。例已知二次函数满足且图象经过点（0，1），被轴截得的线段长为，求函数的解析式。分析：二次函数的解析式有三种形式：①一般式：②顶点式：③双根式：解法1：设，则图象经过点（0，1）知：，即c=1　　　　①∴由知：整理得：即：②由被轴截得的线段长为知，，即即整理得：③由②③得：∴解法2：由

5、知：二次函数对称轴为，所以设；以下从略。解法3：由知：二次函数对称轴为；由被轴截得的线段长为知，；易知函数与轴的两交点为，所以设，以下从略。例已知：为二次函数，且，求。５．解方程组法　　例５　已知２＋＝，求的解析式．　　解：已知２＋＝　　①　　　将①中变量换成，得　　　２＋＝　　　　　②　　　联立①、②可得方程，消去得　　　＝．例已知：，求。解：已知：①用去代换①中的得②由①×2－②得：　　评注：已知满足某个等式，这个等式除是已知量外，还出现其他未知量，如（－），等．可以根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出．６．特殊值法对

6、于抽象函数，我们常常使用赋值法来探求其函数解析式。　　例６　已知对一切，关系式都成立，且＝１，求．　　解：∵　对一切、ｙ都成立．　　　∴　令＝０得　　　∴　，　再令＝－ｙ　得＝＋＋１例已知定义在实数集上函数对于一切、均有，且，求。解：在中，令、得，即，。例已知函数满足，求函数。解：以代原关系式中的得，与原关系式联立组成方程组解得：。对于函数，当满足形如（）或（）等关系时，我们可以用或代替关系式中的，将得到的新式子与原关系式联立消元，将从方程中解出来。例已知函数对于一切实数都有成立，且。（1）求的值；（2）求的解析式。解：（1）取，则有（2）

7、取，则有整理得：7.递推法对于定于在上的函数，我们可以把、、等与数列中的项、、等关联起来。我们直接从给定的条件关系式或通过巧妙的赋值，将其转化为数列的递推关系式，进而将求函数的解析式转化为求数列的通项。这样，我们便可以将求递推数列通项公式的思想方法迁移过来进行求解。例7已知是定义在正整数集上的函数，并且对于任意的、，都有，且，求。解：令得那么有：……各式叠加得：…即（）8.变换法对于给定轴对称函数、中心对称函数、周期函数等在某区间的解析式要求另一区间上函数解析式一类问题，我们可从目标（待求）区间入手，构造变量属于已知区间，通过给定的函数的性

8、质把待求的解析式和构造变量的函数值之间的关系关联，从而把函数在待求区间上的解析式求解出来。例8（奇偶变换法）已知为定义在上的奇函数，当时，，试求当时的解析式。解：设。则，那么，而