平面解析几何中求角平分线方程的向量解法 人教版

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1、平面解析几何中求角平分线方程的向量解法平面向量是高中数学试验教材与高中数学课程标准中新增内容，是近年高考命题的热点，在天津、江西2002年、2003年的高考数学试题中，与向量有关的试题量分达29分之多，向量在数学、物理学中应用广泛，它是数形结合的一个点型案例。加强向量的教学，是学生学好新课程的基础。本文从一道高考题的结论出发，引出平面解析几何中角平分线方程的求法，以求教于同行。一、引题2003年江西、天津高考数学试题（理工）第4题：是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P轨迹一定通过的（）A、外心B

2、、内心C、重心D、垂心因为、分别是与、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形法则知是与的角平分线（射线）同向的一个向量，又，知点P的轨迹是角的平分线，从而选B。利用本题的结论和直线方程的点向式可以方便地求出平面解析几何中的角平线所在直线的方程。二、用向量求角平分线方程的程序一条不平行于两坐标轴的直线过点，其方向向量为，则该直线的方程可表为。这一方程称为直线的点向式方程。一条直线过点，其法向量为，设是直线上任意一点，由得直线的方程为，这一方程称为直线的点法式方程。据此，我们会得到直线的法向量为，其方向向量为。据引题的结论，我们不

3、难得到求一个角的平分线所在的直线方程的算法。（1）由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量；（2）求出角平分线的方向向量；（3）由点向式得出角平分线的方程。特别地，给出两条直线，，求其夹角平分线的方程的算法如下：（1）取两直线的方向向量；（2）计算；（3）若，则角平分线的方向向量为，若，则角平分线的方向向量为；（4）由直线方程的点向式写出两直线夹角平分线方程。三、应用举例问题1已知的顶点坐标为，求的平分线所在直线的方程。解答：，平分线的方向向量为，所以平分线所在直线的方程为，即。问题2求直线与直线的夹角平分线的方

4、程。解答：直线、的交点为，其方向向量分别为，，，故夹角平分线的方向向量为，两直线的夹角平分线方程为，即。问题3光线沿直线入射到直线后反射回去，求反射光线所在直线的方程。解答：如图所示，由的方程联立得入射点，直线、关于直线对称，直线应是的平分线，由图知，直线、的上方向量（即向量的纵坐标大于0）分别与角的两边同向，直线、的上方向向量分别为、，设直线的上方向向量为，则有，即，解得或（时，共线，舍去）。从而直线的方程为，即。问题4如图，给出定点和直线。B是直线上的动点，的平分线交于点C。求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的

5、关系。（1999年全国高考试题第24题）解答：设，则，从而直线AB的方程为又，直线OC的方向向量为故直线OC的方程为：由（1）、（2）消去得。（分析轨迹类型略）科学的生命力在于应用，向量的知识只有应用到数学中去，才能使学生学好这一知识块，才能更好地完成教学计划，顺利应对高考。参考书目：1、全日制普通高级中教科书数学第二册（上）2、普通高中数学课程标准（实验）（2003.4）3、全日制普通高级中学数学教学大纲(2002.4)