2018高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理(1)学案苏教版

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1、2.1.1 合情推理[学习目标] 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用.[知识链接]1.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗?答 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然性的,而是或然性的,结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究中的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.2.由合情推理得到的结论可靠吗?答 一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如,费马猜想就被数学家欧拉推翻了.[预习导引]1.归纳推理(1)定义:从个别事实中推演出一般性

2、的结论的推理称为归纳推理.归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.(2)归纳推理的特点:①归纳推理是从特殊到一般的推理;②由归纳推理得到的结论不一定正确;③归纳推理是一种具有创造性的推理.2.类比推理(1)类比推理的定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理,简称类比法.(2)类比推理的思维过程:→→3.合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳推理和类比推理是数学活动中常用的合情推理.要点一 归纳推理的应用例1 观

3、察如图所示的“三角数阵”      1…………第1行    2 2…………第2行   3 4 3…………第3行    4 7 7 4…………第4行  51114115…………第5行 …………               记第n(n>1)行的第2个数为an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题:(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________;(2)依次写出a2、a3、a4、a5;(3)归纳出an+1与an的关系式.解 由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行的肩

4、膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.(1)6,16,25,25,16,6(2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11(3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4由此归纳:an+1=an+n.规律方法 对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解.跟踪演练1 根据下列条件,写出数列中的前4项,并归纳猜想它的通项公式.(1)a1=3,an+1=2an+1;(2)a1=a,an+1=;(3)对一切n∈N*,an>0,且2=an+1.解 (1)由已知可得a1=3=22-1,a2=2a1+1=2×3

5、+1=7=23-1,a3=2a2+1=2×7+1=15=24-1,a4=2a3+1=2×15+1=31=25-1.猜想an=2n+1-1,n∈N*.(2)由已知可得a1=a,a2==,a3==,a4==.猜想an=(n∈N*).(3)∵2=an+1,∴2=a1+1,即2=a1+1,∴a1=1.又2=a2+1,∴2=a2+1,∴a-2a2-3=0.∵对一切n∈N*,an>0,∴a2=3.同理可求得a3=5,a4=7,猜想出an=2n-1(n∈N*).要点二 类比推理的应用例2 如图所示,在△ABC中,射影定理可表示为a=b·cosC+c·cosB,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边.

6、类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想.解 如右图所示,在四面体P-ABC中,设S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积,α,β,γ依次表示面PAB,面PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小.我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为S=S1·cosα+S2·cosβ+S3·cosγ.规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要,选择适当的类比对象,可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论.(2)平面图形与空间图形的类比:平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三

7、角形四面体跟踪演练2 已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时对x求导,得2yy′=2p,则y′=,所以过P的切线的斜率k=.类比上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程为________.答案 2x-y-=0解析 将双曲线方程化为y2=2(x2-1),类比上述方法两边同时对x求导得2yy′=4x,则y′=,即过P的切线的斜率k=,由于P(,),故切线

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