拉普拉斯算子.docx

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1、黎曼流形维基百科，自由的百科全书黎曼流形（Riemannianmanifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度，角度，面积，体积，曲率，函数梯度及向量域的散度。每个Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量:把Rn的点积都限制于切空间内。实际上，根据纳什嵌入定理,所有黎曼流形都可以这样产生。我们可以定义黎曼流形为和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空间,等距是指其内蕴度量(intrinsicmetric)和上述从Rn导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。黎曼流形可以定义为平滑

2、流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间：如果γ :[a,b]→M是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度L(γ)为（注意：γ'(t)是切空间M在γ(t)点的元素;

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6、是切空间的内积所得出的范数。)使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在x与y两点之间的距离d(x,y)定义为：d(x,y)=inf{L(γ) :γ是连接x和y的一条光滑曲线}。虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在:那就是测地线.在黎曼流形中,测地线完备的概念，和拓扑完

7、备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容.。微分流形维基百科，自由的百科全书[]可微流形的定义设的自然数或者为，拓扑空间被称为是m维可微流形，如果，1.为豪斯多夫空间2.被m维坐标邻域所覆盖，换句话说，存在的m维坐标邻域族，使得3.满足的任意，坐标转换为映射。·当r=0时，流形称为是拓扑流形；当时，流形称为是光滑流形。·拓扑空间·维基百科，自由的百科全书·汉漢▼··上图为三点集合{1,2,3}上四个拓扑的例子和两个反例。左下角的集合并不是个拓扑空间，因为缺少{2}和{3}的并集{2,3}

8、；右下角的集合也不是个拓扑空间，因为缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。·拓扑空间是一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。定义拓扑空间是一个集合 X，和一个包含 X 的子集族 τ，其满足如下公理：1.空集和 X 都属于 τ。2. τ 内任意个集合的并集都仍然会属于 τ。3. τ 内任意两个集合的交集也仍然会属于 τ。满足上述公理的集族 τ 即称为 X 的拓扑。X 内的元素通常称

9、做“点”，但它们其实可以是任意的元素。里面的“点”为函数的拓扑空间称为“函数空间”。τ 内的集合称为开集，而其在 X 内的补集则称为闭集。一个集合可能是开放的、封闭的、非开非闭或亦开亦闭。[]例子1.X = {1,2,3,4} 和 X 内两个子集组成的集族 τ = {∅, X} 会形成一个平庸拓扑（简体中文）／密著拓扑（繁体中文）。2.X = {1,2,3,4} 和 X 内六个子集组成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 会形成另一个拓扑。3.X = ℤ（整数集合）及集族 τ 等于所有

10、的有限整数子集加上 ℤ 自身不是一个拓扑，因为（例如）所有不包含零的有限集合的并集是无限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 内。[]拓扑之间的关系同一个空间可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑的每一个开集都属于拓扑时，我们说拓扑比拓扑更细，或者说拓扑比拓扑更粗。仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。在有些文

11、献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。[]连续映射拓扑空间上的一个映射，如果它对于每个开集的原像都仍然是开集，那么我们称这个映射是连续的。这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。[

12、]等价定义虽然利用开集来定义拓扑空间是最常见的定义方法，但我们仍然可以通过其他的多种方式来定义拓扑空间。这些不同的定义方式都是等价的。这些不同的拓扑空间的定义连同各自连续映射的定义，从范畴论的