2019高中数学第3章数系的扩充与复数3.2.2复数的乘法学案新人教b版

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1、3.2.2　复数的乘法1．能运用复数的乘法运算法则进行简单的计算．2．掌握虚数单位“i”的幂的规律进行化简求值．复数的乘法(1)两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是在遇到i2时，要把______换成______，并把最后的结果写成a＋bi(a，b∈R)的形式．(2)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的______．(1)两个复数的积仍为复数．(2)复数的乘法运算满足：①交换律：z1·z2＝z2·z1；②结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；③乘法对加法的分配律：z1·(z2＋z3)

2、＝z1·z2＋z1·z3.(3)对复数z1，z2，z和自然数m，n有：zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z.实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．【做一做1－1】计算(1－i)4得(　　)．A．4B．－4C．4iD．－4i【做一做1－2】(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)的运算结果是________．共轭复数有哪些运算性质？剖析：(1)z·＝

3、z

4、2＝

5、

6、2；(2)＝()2；(3)＝·；(4)＝±.题型一复数乘法运算【例题1】计算：(2－3i)(3＋2i)分析：根据运算法则计算即可．反

7、思：复数的乘法与多项式乘法类似，在计算两个复数相乘时，先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，最后合并同类项即可．题型二i的幂的运算【例题2】已知等比数列z1，z2，z3，…，zn，其中z1＝1，z2＝x＋yi，z3＝y＋xi(x，y∈R，且x＞0)．(1)求x，y的值；(2)试求使z1＋z2＋z3＋…＋zn＝0的最小正整数n；(3)对(2)中的正整数n，求z1·z2·z3·…·zn的值．分析：借助等比数列建立等式关系，利用复数相等的充要条件，将复数问题转化成实数问题来求解，进而得到数列通项公式，然后便使问题逐步得以解决．

8、反思：(1)(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈Z.题型三共轭复数的性质【例题3】若z，z0∈C，z≠z0，且

9、z

10、＝2，求的值.分析：要用z表示比较困难，z0没有具体给出，要想求的值，必须充分利用

11、z

12、＝2，为此要考虑用

13、z

14、的性质

15、z

16、2＝反思：是在求解复数问题时常用的一个公式.题型四易错辨析易错点：有些同学总认为只要是复数式子就不能比较大小，这种观点是错误的.错误原因是：若两复数经化简后为实数，则能比较大小，因此要注意运算时式子中的隐含条件.【例题4】已知z1，z2∈C，且z1·z2≠0，，问A，B可否

17、比较大小？并说明理由.错解：因为z1，z2∈C，且z1·z2≠0，所以A∈C，而B＝

18、z1

19、2＋

20、z2

21、2∈R，所以A，B不能比较大小.1设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于(　　).A．－2B．－1C．1D．22设复数,则z2－2z等于(　　).A．－3B．3C．－3iD．3i3设z∈C，,,则复数z1与z2的关系是(　　).A．z1≤z2B．z1≥z2C．z1＝z2D．不能比较大小4已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝________.5已知复数z1＝cosθ－i，z2＝s

22、inθ＋i，则z1·z2的实部的最大值为________，虚部的最大值为________.答案：基础知识·梳理1．(1)i2　－1　(2)平方【做一做1－1】B　(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4.【做一做1－2】－20＋15i　(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.典型例题·领悟【例题1】解：(2－3i)(3＋2i)＝6＋4i－9i－6i2＝6＋4i－9i＋6＝12－5i.【例题2】解：(1)由z1z3＝z，得(x＋yi)2＝y＋xi，根据复数相等的充要条件，

23、得(x＞0)．解得(2)z1＝1，z2＝＋i，q＝＋i，则zn＝n－1，于是z1＋z2＋…＋zn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1＝＝0，则qn＝n＝1，即n既是3的倍数又是4的倍数．故n为12的倍数，所求最小的正整数n为12.(3)z1·z2·…·z12＝1··2·…·11＝1＋2＋…＋11＝66＝(－i)6666＝－1.【例题3】解法一：∵

24、z

25、＝2，

26、z

27、2＝z＝4，∴＝＝＝＝.解法二：2＝·＝＝＝，∴＝.【例题4】错因分析：错解中直接由z1C，z2C得AC是不严密的，事实上只要求出就能发现A为实数．正解：因为A＝z1·＋

28、·z2，故＝z2·＋z1·＝A，即AR，而B＝z1·＋z2·＝

29、z1

30、2＋

31、z2

32、2R，所以A，B可以比较大小，且有A－B＝z1·＋z2·－(z1·＋z2·)＝z1(－)＋z2(－)＝－(z1－z2)()＝－

33、z1－z2

34、2≤0，故有A－B≤0，即A≤B.随堂练习·巩固1．A　∵z1z2＝(1＋i)(x