2019高中数学第3章数系的扩充与复数3.2.3复数的除法学案新人教b版

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1、3.2.3 复数的除法1.掌握复数的除法法则,并能运用复数的除法法则进行计算.复数的除法(1)已知z=a+bi(a,b∈R),如果存在一个复数z′,使z·z′=1,则z′叫做z的______,记作.(2)我们规定两个复数除法的运算法则如下:(a+bi)÷(c+di)=====其中a,b,c,d∈R.上述复数除法的运算法则不必死记.在实际运算时,我们把商看作分数,分子、分母同乘以分母的____________,把分母变为实数,化简后,就可以得到运算结果.【做一做】复数(m∈R)在复平面内对应的点不可能位于(  ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限复数的模有哪些

2、性质?剖析:(1)(2)

3、z1·z2

4、=

5、z1

6、·

7、z2

8、(3)(4)

9、zn

10、=

11、z

12、n题型一复数的除法【例题1】计算下列各式的值:(1);(2);(3);(4).分析:直接利用复数除法的运算法则,分子、分母同时乘分母的共轭复数来计算.反思:在复数的除法中,除直接利用分子、分母同时乘分母的共轭复数外,形如或的复数,还可以直接化简,即==i,==-i.题型二复数运算的综合应用【例题2】设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.(1)求

13、z

14、的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证:u为纯虚数;(3)求ω-u2的最小值.分析:(1)按常规解法,设z=a+bi(a,b∈R)

15、,化简ω=z+,找出实部、虚部列出等量关系式求解;(2)证明u为纯虚数,可按定义证明实部为零,虚部不为零.或证明u+=0,且u≠0;(3)要求ω-u2的最小值,由(1),(2),知ω与u2均为实数,所以可先建立ω-u2的函数关系,再设法求出最小值.反思:该题涉及到复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识.只要概念清楚,运算熟练,按常规思路顺其自然不难求解.注意:解决后面的问题时,可以使用前面已经得到的结论.题型三易错辨析易错点:在求解过程中因忽视有关条件而导致错误.【例题3】已知是纯虚数,求z在复平面内对应的点的轨迹.错解:设z=x+yi(x,y∈R),则===-i.∵

16、是纯虚数,∴x2+y2-x=0,即2+y2=,∴z在复平面上对应点的轨迹是以点为圆心,为半径的圆.1复数+的虚部是(  ).A.iB.C.-iD.-2复数3等于(  ).A.8B.-8C.8iD.-8i3已知复数z1=m+2i,z2=3-4i,若为实数,则实数m的值为(  ).A.B.C.-D.-4设i为虚数单位,则复数=________.5设复数z1=2-i,z2=1-3i,则复数+的虚部等于__________.答案:基础知识·梳理(1)倒数 (2)共轭复数c-di【做一做】A z==[(m-2i)(1-2i)]=[(m-4)-2(m+1)i],在复平面上对应的点若在第

17、一象限内,则无解,即该点不可能在第一象限.典型例题·领悟【例题1】解:(1)==i(1+i)=-1+i.(2)====-i.(3)===-i.(4)方法一:====i.方法二:===i.【例题2】(1)解:∵z是虚数,∴可设z=x+yi,x,yR,且y≠0.∴ω=z+=x+yi+=x+yi+=x++i.∵ω是实数,且y≠0,∴y-=0,∴x2+y2=1,即

18、z

19、=1.此时ω=2x.∵-1<ω<2,∴-1<2x<2,从而有-<x<1.即z的实部的取值范围是.(2)证明:u=====-i.∵x(-,1),y≠0,∴≠0.∴u为纯虚数.(3)解:ω-u2=2x-2=2x+2=2x

20、+=2x+=2x-1+=2(x+1)+-3.∵-<x<1,∴1+x>0.于是ω-u2=2(x+1)+-3≥2-3=1.当且仅当2(x+1)=,即x=0时等号成立.∴ω-u2的最小值为1,此时z=±i.【例题3】错因分析:由为纯虚数,得x2+y2-x=0,且y≠0,错解中忽略了y≠0.正解:设z=x+yi(x,yR),则===.∵是纯虚数,∴即2+y2=(y≠0).∴z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心,为半径的圆,并去掉点(0,0)和点(1,0).随堂练习·巩固1.B +=+==-+i.故选B.2.D 3=(i+i)3=(2i)3=-8i.故选D.3.D ==R,∴6+4

21、m=0,∴m=-.4.-1+i ==-1+i.5.i ∵+=+=++i=-+i++i=i.

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