2019高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法学案新人教b版

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1、2.3　数学归纳法1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题．2．理解数学归纳法两个步骤的作用，进一步规范书写的语言结构．数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝______时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”．运

2、用数学归纳法证明有关命题时应注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可；(2)在第一步中，n的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n＝n0，n0＋1等)，证明应视具体情况而定；(3)第二步中，证明n＝k＋1时命题成立，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；(4)证明n＝k＋1时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当n＝k＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．【做一做】对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，＜1

3、＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法(　　)．A．过程全部正确B．n＝1时验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确1．利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项？剖析：(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步，即n＝k＋1时命题为什么成立？n＝k＋1时命题成立是利用假设n＝k时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则n＝k＋1时命题成立也成假设了，命题并没有得到证明．(2)用数学

4、归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．2．运用数学归纳法时易犯的错误有哪些？剖析：(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的．假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．(3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题中最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．题型一用数学归纳法证明恒等式【例题1】用数学归纳法证

5、明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.分析：左边式子的特点为：各项分母依次为1,2，3，…，2n，右边式子的特点为：分母由n＋1开始，依次增大1，一直到2n，共n项．反思：理解等式的特点：在等式左边，当n取一个值时，对应两项，即－；在等式右边，当n取一个值时，对应一项．无论n取何值，应保证等式左边有2n项，而等式右边有n项，然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明．题型二用数学归纳法证明不等式【例题2】已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N＋，用数学归纳法证明：≥n.反思：应用数学归纳法证明不等式时，往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设，再应用放缩法或其他证明不等式的方法证得n＝k

6、＋1时命题成立．题型三归纳——猜想——证明【例题3】某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化的关系，归纳出构成数列的规律．同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可分段表示．证明这个数列的通项公式可用数学归纳法．反思：先计算出一个数列的前几项，用不完全归纳法猜想得到通项公式，再用数学归纳法给予证明，这是解数列问题的常见思路．题型四易错辨析易错点：在应用数学归纳法证明问题时两步缺一不可，

7、且在证明由n＝k到n＝k＋1命题成立时必须用上归纳假设，否则证明过程就是错误的．【例题4】用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝.错证：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝＝，等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，那么当n＝k＋1时，直接使用裂项相减法求得＋＋＋…＋＋＝＝＝，即当n＝k＋1时等式成立．由(1)和(2)，可知等式对一切n∈N＋都成立．1用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N＋)，从“n＝k到n＝k＋1”左端需增乘的代数式为(　　)．A．2k＋1B．2(2k＋1)C．D．2平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(

8、k)，则增加一条直线后，