第三章《数系的扩充与复数的引入复数》学案(新人教a版选修1-2)

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1、...复数复习学案一．知识结构数系扩充 定义复数的概念复数代数形式几何意义复数的运算四则运算二．重点、难点、热点剖析由于复数在整个高中数学所处的地位的改变，今后高考时复数不会有太多太高的要求，试题数量稳定在一道试题，难度不会太大，复数的概念及复数的运算是复数应用的基础，是高考考查的重点，复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点。而复数的乘、除更是考查的重点，主要考查基本运算能力，另外复数的有关概念众多，涉及知识面广，易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考查。三．技巧方法1、设z＝a＋bi(a,bR),利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法，同时要学

2、会以整体的角度出发去分析和求解，如果遇到复数就设z＝a＋bi(a,bR),有时带来不必要的运算上的困难，若能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍。2、在简化运算中，如能合理运用i和复数的模等有关的性质，常能出奇制胜，事半功倍，所以在学习中注意积累并灵活运用。3、性质：zz

3、z

4、z是复数运算与实数运算相互转化的重要依据，也是把复数看作整2

5、

6、22

7、

8、2体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。4、学习本章时，应注意联系全面学过的实数的性质，实数的运算内容，以便对复数的知识有较完整的认识。四、注意点析1、要注意实数、虚数。纯虚数、复数之间的联系与

9、区别，实数集和虚数集都是复数集的真子集，它们的并集是复数集，它们的交集是空集，纯虚数集是虚数集的真子集，2、当概念扩展到复数后，实数集R中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等。3、熟练掌握复数乘法、除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。五、思想方法1、数形结合这是本章的主要数学思想，例如复数本身的几何意义及四则运算的几何意义等。图形要画得合乎题意，充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题。2、方程的思想，主要体现在复数相等的充要条件和复数方程。3、转化思想，转化思想是复数的重要思想方法，既然在实数的基础上扩展

10、到复数，自然复数中的许多问题都可以转化到实数集内解决，如求模运算，复数相等的充要条件及zz

11、z

12、z等，进行复数与实数间的转化。2

13、

14、24、分类讨论思想：它是一种比较重要的解题策略和方法，在复数中它能够使复杂问题简单......第1页共4页......化，从而化整为零，各个击破。5、主要方法有：待定系数法、整体法；待定系数法是利用复数的代数形式，设复数z＝a＋bi的形式代入，再利用复数相等或其它途径，转化为与a，b相关的等式，求出a，b即可得到复数z。在复数学习中有必要根据条件与待求结论的特点，通过研究问题的整体形式、整体结构或作某些整体处理，这样往往可以避繁就简，化难为

15、易，顺速解决问题。六、典例分析1、基本概念计算类例1．若z1a2i,z234i,且z1z2为纯虚数，则实数a的值为_________解：因为，z1z2＝a32i(a2i)(34i)3a6i4ia83a8(64a)i4i(34i)(34i)2525，又z1z2为纯虚数，所以，3a－8＝0，且6＋4a0。a832、复数方程问题例2．证明：在复数范围内，方程

16、z2

17、(1i)z525ii（i为虚数单位）无解。证明：原方程化简为

18、z

19、(1i)z(1i)z13i,设z＝x＋yi(x、yR)，代入上述方程得22xy1222xxy2xi2yi13i.整理得8x12502x2y3160.

20、方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。点评：本题主要考查复数方程等知识，一般是设Z的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方程。3、综合类例3．设z是虚数，z1z是实数，且－1<<2（1）求

21、z

22、的值及z的实部的取值范围；（2）设M11zz，求证：M为纯虚数；（3）求2M的最小值。分析：本题考查复数的概念、复数的模、复数的运算及不等式的知识，以及运算能力和推理能力。解：（1）设z＝a＋bi（a，bR,b0）1ababi(a2)(b)i,因为，是实数，b0222abiabab12b2......所以，a1，即

23、z

24、＝1，因为＝2a，－1<<2，a12第2页共4页.

25、.....1所以，z的实部的取值范围（－,1）。2（2）M11zz＝11aabibi(1(1aabi)(1bi)(1aabi)bi)12a(1a)2b22bi2bbia1（这12b2里利用了（1）中1），b0，所以M为纯虚数。a）。因为a（－,12（3）2M2a(a2b1)22a1(a2a1)22aaa11212a12[(a1)a1a]131因为，a（－,1），所以，a＋1>0，所以22M2×2－3＝1，1当a＋1＝，即a＝0时上式取等号，所以，a12M的最小值是1。点评：本题以复数的有关概念为载体，考查学生的化归能力，考查了均值不等式的