2012高中数学3.2第3课时课时同步练习新人教a版选修2-1

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1、...第3章3.2第3课时一、选择题(每小题5分,共20分)1.如图,正棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()15A.B.2535C.D.45解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1.则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2)→→A1B=(0,1,-2),AD =(-1,0,2)1→→cos〈A1B,AD1〉=→→A1B·AD1→→

2、A1B

3、·

4、AD1

5、=-4=-5·545∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45,故选D.答案:D2.

6、若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成的二面角的余弦值为()A.63B.33C.23D.13解析:设正三棱锥P-ABC,PA,PB,PC两两互相垂直,设PA=PB=PC=a.取AB的中点D,连结PD、CD,易知∠PDC为侧面PAB与底面ABC所成的角.易求PD=2a,CD=6a,......22第-1-页共6页......故cos∠PDC=PD=DC3.3答案:B3.若平面α的一个法向量n=(2,1,1),直线l的一个方向向量为a=(1,2,3),则l与α所成角的正弦值为()A.176B.216C.-216D.213解析:cos〈a,n〉=a·n

7、a

8、

9、n

10、=,2,,1,21+4

11、+9·2+1+12+2+3==14×621.6答案:B4.二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为()A.150°B.45°C.60°D.120°→→→→→→→→.解析:由条件,知CA·AB=0,AB·BD=0,CD=CA+AB+BD→

12、→

13、2∴

14、CD=

15、CA→

16、2+

17、AB→

18、2+

19、BD→→→→2+2CA·AB+2AB·BD→→→→+2CA·BD=6,BD2+42+82+CA2+42+82+CA=(217)2,→→∴CA,BD=-12→→,CA,BD=120°,∴二面角的大小为

20、60°.故选C.答案:C二、填空题(每小题5分,共10分)5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________.解析:如图,以DA、DC、DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,取正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),→易证AC1是平面A1BD的一个法向量.......→→AC1=(-1,1,1),BC1=(-1,0,1).第-2-页共6页......→→cos〈AC1,BC1〉=1+1=3×26.3所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为6.3答案:636.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二

21、面角A-BD-C的余弦值为________.解析:取BC中点O,连结AO,DO.建立如右图所示坐标系,设BC=1,则A0,0,32,B0,-1,0,D23,0,0.2→∴OA=0,0,32→,BA=0,12,32,→BD=13,,0.22→由于OA=0,0,32为面BCD的法向量,可进一步求出面ABD的一个法向量n=(1,-3,1),→∴cos〈n,OA〉=5.5答案:55三、解答题(每小题10分,共20分)7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F分别是线段AB、BC上的点,且EB=BF=1,求直线EC1与FD1所成角的余弦值→→→解析:以D为坐

22、标原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则有D1(0,0,2),E(3,3,0),F(2,4,0),C1(0,4,2),→→于是EC1=(-3,1,2),FD1=(-2,-4,2),→→设EC1与FD1所成的角为β,......第-3-页共6页......→→

23、

24、EC1·FD1则cosβ=→

25、

26、F→D

27、

28、EC11=21,14所以直线EC1与FD1所成的角的余弦值为21.148.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为BC的中点,F为CC1的中点.(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值;(2)求二面角F-DE-

29、C的余弦值.解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(1,2,0),F(0,2,2).→(1)EF=(-1,0,2),易得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),→设EF与n的夹角为θ,则cosθ=→EF·n→

30、EF

31、

32、n

33、25=5,∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为5.5→→(2)EF=(-1,0,2),DF=(0,2,2),设平

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