哈尔滨工业大学1993年量子力学试题

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1、...1993年量子力学考研试题一.设n是粒子数算符N?a?a?的本征函数，相应之本征值为n，算符a?和a?满足对易关系a?a?a?a?1。证明：a?n（其中n1）0和a?n也是N?的本征函数其相应的本征值分别为n1和n1。解：用粒子数算符N?作用到a?n上，即?Na?na?a?a?na?a?1a?na?a?a?na?n?a?Nna?nna?n1上式表明a?n是N?的本征态，相应的本征值为n1。同样，用粒子数算符N?作用到a?n上，即?Na?na?a?a?na?a?a?1na?a?a?na?na??Nna?nn1a?n上式表明a?n也是N?的本征态，相应的本征值为n1。二.（类似2

2、000年第二题）质量为m的粒子在一维势阱.x0VxV,0x0a0,xa中运动V00，若已知该粒子在此势阱中有一个能量V0E的状2态，试确定此势阱的宽度a。V0......解：对于E0的情况，三个区域中的波函数分别为2......x01xAsinkx2xBexpx3其中，2mE2m(EV)0k;在xa处，利用波函数及其一阶导数连续的条件aa23'2a'3a得到AsinkaBexpaAkcoskaBexpa于是有ktanka此即能量满足的超越方程。1E时，由于V当20mV0tanmV0amV01故......mV0an4，n1,2,3,......最后，得到势阱的宽度an14mV0三.

3、（类似习题选讲5.7）设作一维自由运得粒子t0时处于2x,0Asinkxcoskx态上，求t0和t0时粒子动量与动能的平均值。解：由于动量算符与动能算符对易，它们有共同本征函数'kx12exipk'x而t0时的波函数x,0A2sinkxcoskx12iexpikxexpikx212AexpikxexpikxA42expikx2expikxexpi2kx2expi2kxA422x2xx2xkk2k02kx归一化常数为A47动量的取值几率为1W；p2k144W；pk14Wp0414......动量的平均值为......ppWp0p动能的平均值为T012m24k2pWpp7m2因为，动量

4、算符合动能算符皆与哈密顿算符对易，故它们都是守恒量，而守恒量的取值几率和平均值不随时间改变，t0时的结果与t时完全一样。0四.（见习题选讲6.3）对于类氢离子的任何一个本征态nlm(r)，利用维里定理、费曼-海尔曼定理计算1r1与2r。解：已知类氢离子的能量本征值为22ZeEE,nnl1nlm（1）nr 22na02a为玻尔半径。由维里定理知式中，20eT12V（2）总能量......EnTV12V2Ze21r（3）所以，得到......1r2EZn2,n2Zena01,2,3,（4）类氢离子的哈密顿算符为?H221r22rl(l21)2r22Zer（5）将l视为参数，利用费曼-海

5、尔曼定理，得到Enl?Hll12212r（6）由于，nnrl1（7）所以，22EEZenn（8）3lnna0将其代入（6）式，有211Zr（9）ln21/223a0......五.（类似1996年第四题）设两个自旋为12粒子构成的体系，哈密顿量H?Cs?1s?2，其中，C为常数，?s与1?s分别是粒子1和2粒子2的自旋算符。已知t0时，粒子1的自旋沿z轴的负方向，粒子2的自旋沿z轴的正方向，求t0时测量粒子1的自旋处于z轴负方向的几率。......解：体系的哈密顿算符为?CssCsss??222H1???2122选择耦合表象，由于s0,1，故四个基底为111；211；310；400

6、在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即1000?C2H4001001000003可以直接写出它的解为CE，111214CE，211224C2E，34310123C2E，4440012已知t0时，体系处于......0121000因为哈密顿算符不显含时间，故t0时刻的波函数为......t12iexpE310expiE40012expi4Ct12exp3i4Ct粒子1处于z轴负方向的几率为Ws,tt1z222t12expi4Ctexp3i4Ct212expi2Ctiexp2Ct2C2cos2t0n六．粒子在一维势场Vx中运动，非简并能级为1,2,3, En，如受到微扰W?p?x的作用

7、，求能量到二级修正，并与精确解比较。解：已知H?0满足的本征方程为?H0n0Enn由i1x,?H0p?可知00pmnEEx......nmmni第k个能级的一级修正为......E1kWpkkkk0能量的二级修正为Ek2WWknnk00EEnkkn2200EExEnkknii00EEnknk0kE0nxnk22E0nE0kxnk2nk利用2 2nkE00nExknk2得到2222Ek222近似到二级的解为2EkE0k2精确解可以利用坐标变换确定。体系的哈密顿算符为2?