高考数学人教a版(理)一轮复习【配套word版文档】:第八篇第8讲立体几何中的向量方法(二)

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1、第8讲立体几何中的向量方法(二)A级基础演练(时间:30分钟满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量,若cos〈m,n〉=-12,则l与α所成的角为().A.30°B.60°C.120°D.150°1解析设l与α所成的角为θ,则sinθ=

2、cos〈m,n〉

3、=,∴θ=30°.2答案A2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1中点,G是DD1中点,F是BC上1一点且FB=4BC,则GB与EF所成的角为().A.30°B.120°C.60°D.90°解析如图建立直角坐标系D-xyz,设DA=1,由已知条件,得112

4、,B(1,1,0),E1,1, G0,0,2,F→34,1,0,GB=1,1,-12,→EF=-1,0,-412→→cos〈GB,EF〉=→→→→→=0,则GB⊥EF.GB·EF→

5、GB

6、

7、EF

8、答案D第1页共10页3.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为().A.1010B.3021531010C.10D.10解析建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).→→BC1=(-1,0,2),AE=(-1,2,1),→→cos〈BC1,AE〉=→→→BC1·

9、AE→=3010.

10、BC1

11、

12、AE

13、所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.答案B4.(2013·杭州月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱AA1和BB1→→的中点,则sin〈CM,D1N〉的值为().A.14229B.95C.95D.3解析设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1→为z轴建立空间直角坐标系(如图),可知CM=(2,-→2,1),D1N=(2,2,-1),→→cos〈CM,D1N〉=-→→145,sin〈CM,D1N〉=,99答案B二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013·连云港模拟)若平面α的一个法向量

14、为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的正弦值为________.解析cos〈n,a〉=-8n·a==-32×22

15、n

16、

17、a

18、41133.411又l与α所成角记为θ,即sinθ=

19、cos〈n,a〉

20、=33.答案41133.第2页共10页6.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是________.解析建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=BC=AA1=2,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),→→则

21、EF=(0,-1,1),BC1=(2,0,2),→→∴EF·BC1=2,→→∴cos〈EF,BC1〉=21=2,2×22∴EF和BC1所成角为60°.答案60°三、解答题(共25分)7.(12分)如图,四面体ABCD中,AB、BC、BD两两垂直,AB=BC=BD=4,E、F分别为棱BC、AD的中点.(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值;(2)求E到平面ACD的距离;(3)求EF与平面ACD所成角的正弦值.解如图,分别以直线BC、BD、BA为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则各相关点的坐标为A(0,0,4)、C(4,0,0)、D(0,4,0),E(2,0,0)、F(0,2,2).→

22、→(1)∵AB=(0,0,-4),EF=(-2,2,2),→→∴

23、cos〈AB,EF〉

24、=-84×23=33,∴异面直线AB与EF所成角的余弦值为33.(2)设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,1),第3页共10页→n·AC=0,则→→→∵AC=(4,0,-4),CD=(-4,4,0),n·CD=0,∴4x-4=0,-4x+4y=0,∴x=y=1,∴n=(1,1,1,).→∵F∈平面ACD,EF=(-2,2,2),→

25、n·EF

26、∴E到平面ACD的距离为d==

27、n

28、2=3233.→(3)EF与平面ACD所成角的正弦值为

29、cos〈n,EF〉

30、=21=33×238.(13分)如图,在底

31、面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=23,BC=6.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P-BD-A的大小.(1)证明如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(23,0,0),C(23,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3),→→∴AP=(0,0,3),AC=(23,6,0),→BD=(-23,2,0).→→→→∴BD·AP=0,BD·AC=0.∴BD⊥AP,

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