《极值点偏移问题处理策略及探究》

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1、..极值点偏移问题的处理策略及探究所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数f(x)在xx处取得极值，且函数yf(x)与直线yb0交于A(x,b),B(x2,b)两点，则AB的中点为1xx12M(,b)，而往往2xx12x.如下图02所示.极值点没有偏移此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更

2、方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！【问题特征】【处理策略】1/12....一、不含参数的问题.x例1.（2010天津理）已知函数f(x)xe(xR)，如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明：x1x22.x【解析】法一：f(x)(1x)e，易得f(x)在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，x时，f(x)，f(0)0，x时，f(x)0，函数f(x)在x1处取得极大值f(1)，且f)1(1e,如图所示.由f(x)f(x),xx，不妨设x1x2，则必有0x11

3、x2，1212构造函数F(x)f(1x)f(1x),x(0,1]，则x2xF(x)f(1x)f(1x)(e1)0x1e，所以F(x)在x(0,1]上单调递增，F(x)F(0)0，也即f(1x)f(1x)对x(0,1]恒成立.由0x1x，则121x(0,1]，1所以f(1(1x))f(2x)f(1(1x))f(x)f(x，)即f(2x1)f(x2)，11112又因为2x,x(1,)，且f(x)在(1,)上单调递减，12所以2xx，即证x1x22.12法二：欲证x1x22，即证x22x1，由法一知0x11x2，故2x1,x2(1,)，又因为f(x)

4、在(1,)上单调递减，故只需证f(x)f(2x)，又因为f(x)f(x)，2112故也即证f(x)f(2x)，构造函数H(x)f(x)f(2x),x(0,1)，则等价于证明11H(x)0对x(0,1)恒成立.由1x2x2H(x)f(x)f(2x)(1e)0xe，则H(x)在x(0,1)上单调递增，所以H(x)H(1)0，即已证明H(x)0对x(0,1)恒成立，故原不等式x1x22亦成立.....法三：由f(x)f(x)，得12xxxe1xe2，化简得12xxx212ex1⋯，2/12....不妨设xx，由法一知，ox11x2.令tx2x1，则t

5、0,x2tx1，代入式，21得ttx1ex1x，反解出1tet1，则2txx2xtt121te1，故要证：x1x22，即证：2tte1ttt2e，等价于证明：2t(t2)(e1)0⋯，，又因为10ttt构造函数G(t)2t(t2)(e1),(t0)，则G(t)(t1)e1,G(t)te0，故G(t)在t(0,)上单调递增，G(t)G(0)0，从而G(t)也在t(0,)上单调递增，G(t)G(0)0，即证式成立，也即原不等式xx成立.122x法四：由法三中式，两边同时取以e为底的对数，得2xxlnlnxlnx2121x1，也即lnxlnx21xx

6、211，从而x21lnxlnxxxxxx2121212xx(xx)lnln1212xxxxxxx22121111x1，x令2t(t1)，则欲证：x1xx，等价于证明：122tt11lnt2⋯，构造(t1)lnt2M(t)(1)lnt,(t1)t1t1，则M(t)2t12tlnt2t(t1)，又令2(t)t12tlnt,(t1)，则()t2t2(nl1)t2(1tln)t，由于t1lnt对t(1,)恒成立，故(t)0，(t)在t(1,)上单调递增，所以(t)(1)0，从而M(t)0，故M(t)在t(1,)上单调递增，由洛比塔法则知：(t1)lnt

7、((t1)lnt)t1limM(t)limlimlim(lnt)2x1x1x1x1t1(t1)t，即证M(t)2即证，....式成立，也即原不等式x1x22成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.二、含参数的问题.例2.已知函数xf()有两个不同的零点x1,x2，求证：x1x22.xxae3/12....【解析】思路1：函数f(x)的两个零点，等价于方程xxea的两个实根，从而这一问

8、题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用；思路2：也可以利用参数a这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数f(x)有两个零点x1,x2，所以x1