中学数学研究-陕080727心路历程：特殊与一般的双向沟通

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1、资料编号144322007陕西数列摘要罗增儒发表在陕080727上属于解题、过程、分析题为《心路历程：特殊与一般的双向沟通》本文将要谈到一道2007年的高考选择题，它的难度系数为0.65，属于中档常规题．我们的工作是把这道普普通通的题目作为一个典型的案例，分析它的种种求解思路，并努力弄清麻烦的思路到底麻烦在什么地方，能不能变简单些？一特殊的思路到底特殊在什么地方，能不能推进到一般？其中由思路认思路2到思路4的心路历程，主要反映了特殊与一般的双向沟通，而在这个自觉的探究中，我们将有机会积累起基本数学活动经验．首先看题目：例1(2007年高考数学陕西卷理科第5题）各项均为正数的等比数列的前项和为为

2、，若，，则等于（）A．80B．30C．26D．16显然，本例与下述高中数学联赛题属于向一类型的特例），条件的数据也有1:5的关系．例2(1998年高中数学联赛第一（3）题，参见文[1])各项均为实数的等比数列｛前项之和记为，若，则等于（).A．150B．-200C．150或-200D．400或-50（例2的选择支设计有些问题，本文不作展开）1数学活动的开展——解题思路的常规探求下面两个求解例1的思路来自中学师生，是多数、人的基本选择．1.1思路1：更体现一般性的思考如所周知，等比数列有关量等的计算，都可以通过确定，由求和公式可知，只需求两个未知数，而确定两个未知数只需要要两个独立的条件，现在题

3、目给了两个等量关系，，因而两个未知数应是可以求出来的，思路通了。在这里，思考的基本出发点是用求和公式。解法1（用分别表示与再分别求出，最后代入求出）对照四个选项，应选C。这个思路，分析是有道理的，求出也是正确的，但对题型特征关注不够，直至答案完成之后才去对照四个选项，相当于比做一道解答题还多写了一步．因此，中学界还有另一个常见的思路，即从一开始就紧紧抓住选择题的两个题型特点：―—答案在四个选项中；——四个选项有且只有一个是正确的．这可以避免“小题大做”，力争“小题小做”或“小题巧做＂.1.2思路2：更体现特殊性的思考由于选择题比一般解答题多了题干前面的说明词和题干后面的四个选项，这就给我们思路

4、的寻找提供了更多的机会．我们首先注意到本例的四个选项都是具体的数值，所以的值应是一个与n无关的定值（想一想，为什么不是n的非定值函数），特别地，取n=1时，也应取这个值（全称命题正确，其特称命题必然正确）．这就给了我们一个必要条件去排除诱误项．一旦必要条件排出了3个诱误项，由“四个选项有且只有一项正确”可知，剩下的那个选项必为所求．这就是特殊值解选择题的基本思路，它常常降低题目的难度，并使命题者的考查意图失落．比如，对例2可以这样求解：由实数列知又,故必有.这就一举否定了含有负值的B、C、D，选A.再如，在例l中取n~2，得例3各项均为正数的等比数列的前项和为为，若，，则等于（）A．16B．2

5、6C．30D．80A.16B.26C.30D.80如果不是选择题，例1求，例3求，当然是例1更具一般性，也有更高的要求，但作为选择题，在例l中取n=1来求解，就反而比例3更方便了．解法2：设等比数列的公比为q，由数列各项均为正数，知，在已知条件中，取，有，，即求出，再由这就否定了不满足必要条件的A、B、D，又由选择题的选项有且只有一个正确知，选C,。一般的解题教学都能进行到这两个思路，也常常进行到这两个思路就宣告结束了．我们的看法是（参见文[2]），这只不过是提供了继续暴露数学思维过程的优质素材，沟通知识更广泛联系、积累数学基本活动更丰富经验的工作还有待开始．2数学活动的深人——探求结果的反思

6、分析上述两个思路给我们最突出的印象是，一个具有一般性，一个具有特殊性．而具有一般性的思路书写麻烦些，具有特殊性的思路书写简单些，我们的兴趣不满足于只看到这些事实，而是致力于弄清：——麻烦的思路到底麻烦在什么地方，能不能变简单些？——特殊的思路到底特殊在什么地方，能不能推进到一般？2.1两个思路的对比分析我们的基本想法是，将解题思路分解为一个个步骤，弄清每一步用到什么知识、用到什么方法．这些知识与方法是怎样被提取和组织起来的？思考这些问题可以帮助我们找到麻烦（或简单）的地方，而针对这些地方进行知识的转换，又有可能化麻烦为简单、推特殊到一般．为此，我们对两个思路作结构分析．第一，使用的求和公式不一

7、样．思路1以为逻辑起点，将问题的求解。三次使用求和公式。思路2取成为已知条件，其作为目标使用的求和公式是一种递推关系，归结为：只需求出第二，计算的途径不一样．第三，虽然两种计算都得出选项C:30，但选择C的逻辑途径却有区别，思路1是直接得出C，而思路2是否定A、B、D后间接得出C.由上面的初步分析，可以有意识去改进思路1,我们称为思路3.2.2思路3及其反思解法3：（先求出，再把作为一个整体求出，