2019届高考数学二轮复习专题突破课时作业15椭圆双曲线抛物线理

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1、课时作业15 椭圆、双曲线、抛物线1.[2018·石家庄市重点高中毕业班摸底考试]已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是(  )A.-=1 B.-=1C.x2-=1D.-=1解析:解法一 当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0),由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2-=1;当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0),由题意得无解.故该双曲线的标准方程为x2-=1,选C.解法二 当其中的一条渐近线方程y=x中的x=2时,y=2>3,又点(2,3)在第一象限,所以双曲线的焦点在x轴上,设

2、双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0),由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2-=1,故选C.解法三 因为双曲线的渐近线方程为y=±x,即=±x,所以可设双曲线的方程是x2-=λ(λ≠0),将点(2,3)代入,得λ=1,所以该双曲线的标准方程为x2-=1,故选C.答案:C2.[2018·全国卷Ⅱ]已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(  )A.1-B.2-C.D.-1解析:在Rt△PF1F2中,∠PF2F1=60°,不妨设椭圆焦点在x轴上,且焦距

3、F1F2

4、=2,则

5、PF2

6、=1,

7、PF1

8、=,由椭圆

9、的定义可知,方程+=1中,2a=1+,2c=2,得8a=,c=1,所以离心率e===-1.故选D.答案:D3.[2018·山东省潍坊市第一次模拟]已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为,且离心率为2,则该双曲线的实轴的长为(  )A.1B.C.2D.2解析:由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为=b=,即c2-a2=3,又e==2,所以a=1,该双曲线的实轴的长为2a=2.答案:C4.[2018·武汉市高中毕业生调研]曲线C1:+=1与曲线C2:+=1(0<k<9)的(  )A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析:因

10、为0<k<9,所以25-k>9-k>0,所以曲线C2是焦点在x轴上的椭圆,记其长半轴长为a2,短半轴长为b2,半焦距为c2,则c=a-b=25-k-(9-k)=16.曲线C1也是焦点在x轴上的椭圆,记其长半轴长为a1,短半轴长为b1,半焦距为c1,则c=a-b=25-9=16,所以曲线C1和曲线C2的焦距相等,故选D.答案:D5.[2018·全国卷Ⅲ]设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若

11、PF1

12、=

13、OP

14、,则C的离心率为(  )A.B.2C.D.8解析:如图,过点F1向OP的反向延长线作垂线,

15、垂足为P′,连接P′F2,由题意可知,四边形PF1P′F2为平行四边形,且△PP′F2是直角三角形.因为

16、F2P

17、=b,

18、F2O

19、=c,所以

20、OP

21、=a.又

22、PF1

23、=a=

24、F2P′

25、,

26、PP′

27、=2a,所以

28、F2P

29、=a=b,所以c==a,所以e==.故选C.答案:C6.[2018·福州四校高三年级联考]过双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线,若这4条直线所围成的四边形的周长为8b,则该双曲线的渐近线方程为(  )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±2x解析:由双曲线的对称性得该四边形为菱形,因为该四边形的周长为8b,所以菱形

30、的边长为2b,由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为=,又4条直线分别与两条渐近线平行,所以=,解得a=b,所以该双曲线的渐近线的斜率为±1,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x,故选A.答案:A7.[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为(  )A.B.2C.D.2解析:由题意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为=2,故选D.答案:D8.[2018·昆明市高三复习教学质量检测]已知F1,F2是椭圆E:+=1(a

31、>b>0)的两个焦点,过原点的直线l交椭圆E于A,B两点,·=0,且=,则椭圆E8的离心率为(  )A.   B.   C.   D.解析:解法一 根据对称性,线段F1F2与线段AB在点O处互相平分,又·=0,所以AF2⊥BF2,连接AF1,BF1,所以四边形AF1BF2是矩形,

32、AF1

33、=

34、BF2

35、.根据椭圆的定义,

36、AF1

37、+

38、AF2

39、=2a,又=,所以

40、AF1

41、=a,

42、AF2

43、=a,在Rt△AF1F2中,

44、F1F2

45、=2c,由勾股定理得(2c)2=2+2,得2=,所以椭圆E的离心率e==.故选D.

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