高考数学第2部分专题5解析几何第9讲圆锥曲线的定义、方程及性质学案文

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1、第9讲　圆锥曲线的定义、方程及性质高考统计·定方向热点题型真题统计命题规律题型1：圆锥曲线的定义、标准方程2017全国卷ⅢT14；2017全国卷ⅡT12；2014全国卷ⅠT101.每年必考内容，多以选择、填空题的形式考查圆锥曲线的定义、方程、性质，以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的综合问题.2.小题一般出现在5～12或14～15题的位置，难度中等偏上，解答题出现在20题的位置上，难度较大.题型2：圆锥曲线的性质及应用2018全国卷ⅠT4；2018全国卷ⅡT6；2018全国卷ⅠT112018全国卷ⅢT10；

2、2017全国卷ⅠT5；2017全国卷ⅡT52017全国卷ⅠT12；2016全国卷ⅡT5；2016全国卷ⅢT122015全国卷ⅠT5；2015全国卷ⅡT16；2015全国卷ⅡT152014全国卷ⅠT4题型3：直线、圆与圆锥曲线的交汇2017卷ⅢT11；2014卷ⅠT20题型1　圆锥曲线的定义、标准方程■核心知识储备·圆锥曲线的定义(1)椭圆：

3、PF1

4、＋

5、PF2

6、＝2a(2a＞

7、F1F2

8、)；(2)双曲线

9、

10、PF1

11、－

12、PF2

13、

14、＝2a(2a＜

15、F1F2

16、)；(3)抛物线：

17、PF

18、＝

19、PM

20、，点F不在直线l

21、上，PM⊥l于M(直线l是抛物线的准线)．■高考考法示例·【例1】　(1)(2018·哈尔滨模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1　　　　　B.－＝116C.－y2＝1D．x2－＝1(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则

22、FN

23、＝______.(1)D　(2)6　[(1)根据题意画出草图如图所示，不妨设点

24、A在渐近线y＝x上．由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝

25、OF

26、＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan60°＝.又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.故选D.(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，

27、FO

28、＝

29、AO

30、＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴

31、MP

32、＝

33、FO

34、＝1.又

35、BP

36、＝

37、AO

38、＝2，∴

39、MB

40、＝

41、MP

42、＋

43、BP

44、＝3.由

45、抛物线的定义知

46、MF

47、＝

48、MB

49、＝3，故

50、FN

51、＝2

52、MF

53、＝6.]16[方法归纳]　求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程.(2)计算，即利用待定系数法求出方程或方程组中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn＞0).■对点即时训练·1．设双曲线与椭圆＋＝1相交且有共同的焦点，其

54、中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是(　　)A.－＝1　　　　　B.－＝1C.－＝1D.－＝1A　[法一：(定义法)椭圆＋＝1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．根据双曲线的定义知，2a＝

55、－

56、＝4，解得a＝2，又b2＝c2－a2＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.故选A.法二：(待定系数法)椭圆＋＝1的焦点坐标分别是(0,3)，(0，－3)．设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则a2＋b2＝9.①又点(，4)在双曲线上，所以－＝1.②由①②解得a2＝4，b2＝5.故所求

57、双曲线的标准方程为－＝1.故选A.]2．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则

58、

59、·

60、

61、的值为(　　)A．8　　　B．10　　　C．12　　　D．15D　[因为P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，所以

62、PF1

63、＋

64、PF216

65、＝8，

66、F1F2

67、＝4.因为·＝9，所以

68、

69、·

70、

71、cos∠F1PF2＝9，因为

72、

73、2＝

74、

75、2＋

76、

77、2－2

78、

79、·

80、

81、·cos∠F1PF2＝(

82、

83、＋

84、

85、)2－2

86、

87、·

88、

89、－2

90、

91、·

92、

93、cos∠F1PF2，所以64－2

94、

95、·

96、

97、－18＝

98、16.所以

99、

100、·

101、

102、＝15，故选D.]16题型2　圆锥曲线的性质及应用■核心知识储备·1．椭圆、双曲线中，a，b，c，e之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.2．双曲线的渐近线方程与焦点坐标(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)；(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点