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时间:2019-04-23
《四川省宜宾市一中2017_2018学年高三数学上学期第三周导数的应用一教学设计》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、导数的应用(一)考点梳理函数的单调性与导数①在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内________;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内________;②如果在某个区间内恒有f′(x)=0,那么函数f(x)在这个区间上是________.自查自纠①单调递增 单调递减 ②常数函数基础自测 (2016·宁夏模拟)函数f(x)=x+elnx的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(e,+∞)C.(-∞,0)和(0,+∞)D.R解:函数定义
2、域为(0,+∞),f′(x)=1+>0,故单调递增区间是(0,+∞).故选A.(2016·湛江模拟)函数f(x)=的单调递减区间是( )A.(e,+∞)B.(1,+∞)C.(0,e)D.(0,1)解:f′(x)=,由x>0及f′(x)<0解得x>e.故选A.(2017·浙江)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( ) A B C D解:由导函数y=f′(x)的图象可知,该图象在x轴的负半轴上有一个零点(不妨设为x1),并且当x3、时,f′(x)<0,该图象在x轴的正半轴上有两个零点(从左到右依次设为x2,x3),且当x∈(x1,x2)时,f′(x)>0;当x∈(x2,x3)时,f′(x)<0;当x>x3时,f′(x)>0.因此函数f(x)在x=x1处取得极小值,在x=x2处取得极大值,在x=x3处取得极小值.对照四个选项,选项A中,在x=x1处取得极大值,不合题意;选项B中,极大值点应大于0,不合题意;选项C中,在x=x1处取得极大值,也不合题意;选项D合题意.故选D.函数f(x)=x+2cosx(x∈(0,π))的单调递减区间为________.解:f′(4、x)=1-2sinx,令f′(x)<0得sinx>,故<x<.故填.(2017·兰州模拟)若f(x)=-x2+bln(x+2)在[-1,+∞)上是减函数,则实数b的取值范围是________.解:由已知得f′(x)=-x+≤0在[-1,+∞)上恒成立,所以b≤(x+1)2-1在[-1,+∞)上恒成立,所以b≤-1.故填(-∞,-1].类型一 导数法研究函数的单调性 (1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是( )A.增函数B.减函数C.在(0,π)上单调递增,在(π,2π)上单调递减D.在(0,π)上单调递减,在(π,5、2π)上单调递增解:f′(x)=1-cosx>0在(0,2π)上恒成立,所以f(x)在R上递增,在(0,2π)上为增函数.故选A.(2)设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1,则f(x)的单调减区间为________.解:f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由a>1知,当x<2时,f′(x)>0,故f(x)在区间(-∞,2)上是增函数;当2<x<2a时,f′(x)<0,故f(x)在区间(2,2a)上是减函数;当x>2a时,f′(x)>0,故f(x)在区间(2a,+∞)上是增函6、数.综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.故填(2,2a).(3)函数f(x)=x3-ax为R上增函数的一个充分不必要条件是( )A.a≤0B.a<0C.a≥0D.a>0解:函数f(x)=x3-ax为R上增函数的充分必要条件是f′(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,所以a≤(3x2)min.因为(3x2)min=0,所以a≤0.而(-∞,0)⊆(-∞,0].故选B.【点拨】(1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不7、等式,其解集即为函数的单调区间,含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解,其解集即为函数的单调区间.(2)所有求解和讨论都在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.确定函数单调区间的步骤:①确定函数f(x)的定义域;②求f′(x);③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.应注意的是,个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如函数f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(x=0时,f′(x)=0),但f(x)=x3在R上是增函数. (8、2015·重庆)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.解:(1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得
3、时,f′(x)<0,该图象在x轴的正半轴上有两个零点(从左到右依次设为x2,x3),且当x∈(x1,x2)时,f′(x)>0;当x∈(x2,x3)时,f′(x)<0;当x>x3时,f′(x)>0.因此函数f(x)在x=x1处取得极小值,在x=x2处取得极大值,在x=x3处取得极小值.对照四个选项,选项A中,在x=x1处取得极大值,不合题意;选项B中,极大值点应大于0,不合题意;选项C中,在x=x1处取得极大值,也不合题意;选项D合题意.故选D.函数f(x)=x+2cosx(x∈(0,π))的单调递减区间为________.解:f′(
4、x)=1-2sinx,令f′(x)<0得sinx>,故<x<.故填.(2017·兰州模拟)若f(x)=-x2+bln(x+2)在[-1,+∞)上是减函数,则实数b的取值范围是________.解:由已知得f′(x)=-x+≤0在[-1,+∞)上恒成立,所以b≤(x+1)2-1在[-1,+∞)上恒成立,所以b≤-1.故填(-∞,-1].类型一 导数法研究函数的单调性 (1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是( )A.增函数B.减函数C.在(0,π)上单调递增,在(π,2π)上单调递减D.在(0,π)上单调递减,在(π,
5、2π)上单调递增解:f′(x)=1-cosx>0在(0,2π)上恒成立,所以f(x)在R上递增,在(0,2π)上为增函数.故选A.(2)设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1,则f(x)的单调减区间为________.解:f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由a>1知,当x<2时,f′(x)>0,故f(x)在区间(-∞,2)上是增函数;当2<x<2a时,f′(x)<0,故f(x)在区间(2,2a)上是减函数;当x>2a时,f′(x)>0,故f(x)在区间(2a,+∞)上是增函
6、数.综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.故填(2,2a).(3)函数f(x)=x3-ax为R上增函数的一个充分不必要条件是( )A.a≤0B.a<0C.a≥0D.a>0解:函数f(x)=x3-ax为R上增函数的充分必要条件是f′(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,所以a≤(3x2)min.因为(3x2)min=0,所以a≤0.而(-∞,0)⊆(-∞,0].故选B.【点拨】(1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不
7、等式,其解集即为函数的单调区间,含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解,其解集即为函数的单调区间.(2)所有求解和讨论都在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.确定函数单调区间的步骤:①确定函数f(x)的定义域;②求f′(x);③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.应注意的是,个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如函数f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(x=0时,f′(x)=0),但f(x)=x3在R上是增函数. (
8、2015·重庆)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.解:(1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得
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