第08讲 解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编.doc

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1、2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲:解析几何1、(2009一试2)已知直线和圆,点在直线上,,为圆上两点,在中,,过圆心,则点横坐标范围为.【答案】【解析】设,则圆心到直线的距离,由直线与圆相交,得.解得.2、(2009一试5)椭圆上任意两点,,若,则乘积的最小值为.[来源:学科网]【答案】【解析】设,.由,在椭圆上,有①②得.于是当时,达到最小值.3、(2010一试3)双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是.【答案】98004、(2011一试7)直线与抛物线交于两点,为抛物线上的一点,,则点的坐标为

2、.【答案】或即,即,即.显然,否则,则点在直线上,从而点与点或点重合.所以,解得.故所求点的坐标为或.5、(2012一试4)抛物线的焦点为,准线为l,是抛物线上的两个动点,且满足.设线段AB的中点在l上的投影为,则的最大值是.【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得当且仅当时等号成立.故的最大值为1.6、(2013一试2)在平面直角坐标系中,点在抛物线上,满足,是抛物线的焦点.则.【答案】2.【解析】点坐标为.设,,则,,故,即,故..7、(2013一试7)若实数满足,则的取值范围是.【答案】.如图所示,在平面内,点的轨迹是以为圆

3、心,为半径的圆在的部分,即点与弧的并集.因此,从而.学%科网8、(2014一试6)设椭圆的两个焦点是,过点的直线与交于点,若,且,则椭圆的短轴与长轴的比值为__________.【答案】【解析】9、(2016一试7)双曲线C的方程为,左、右焦点分别为、,过点作直线与双曲线C的右半支交于点P,Q,使得=90°,则的内切圆半径是.[来源:学*科*网]【答案】【解析】[来源:学科网ZXXK]10、(2017一试3)在平面直角坐标系中,椭圆的方程为,为的上焦点,为的右顶点,是上位于第一象限内的动点,则四边形的面积的最大值为.【答案】【解析】易知11、(2009一试9)

4、设直线(其中,为整数)与椭圆交于不同两点,,与双曲线交于不同两点,,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.【解析】由消去化简整理得设,,则①由消去化简整理得设,,则②因为,所以,此时.由得.所以或.由上式解得或.当时,由①和②得.因是整数,所以的值为,,,,,,.当,由①和②得.因是整数,所以,,.于是满足条件的直线共有9条.12、(2010一试10)已知抛物线上的两个动点,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.【解析】解法一:设线段的中点为,则,.线段的垂直平分线的方程是.(1)依题意,是方程(3)的两

5、个实根,且,所以,..[来源:Zxxk.Com]定点到线段的距离..当且仅当,即,或时等号成立.所以,面积的最大值为.,所以,当且仅当且,即,或时等号成立.所以,面积的最大值是.13、(2011一试11)作斜率为的直线与椭圆:交于两点(如图所示),且在直线的左上方.(1)证明:△的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若,求△的面积.【解析】(1)yxOPAB设直线:,.[来源:Z#xx#k.Com]将代入中,化简整理得.上式中,分子,从而,.又在直线的左上方,因此,的角平分线是平行于轴的直线,所以△的内切圆的圆心在直线上.(2)若时,结合(1)的结论可知.直线的

6、方程为:,代入中,消去得.它的两根分别是和,所以,即.所以.同理可求得..14、(2012一试11)如图5,在平面直角坐标系中,菱形的边长为,且.(1)求证:为定值;(2)当点A在半圆()上运动时,求点的轨迹.(2)设其中则.因为所以由(1)的结论得所以从而故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为学科/网15、(2013一试11)(本题满分20分)在平面直角坐标系中,椭圆的方程为,分别为椭圆的左、右顶点,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上不同于和的任意一点.若平面中两个点满足,,,,试确定线段的长度与的大小关系,并给出证明.【解析】令,则,,,.设,,,其中

7、,.由,可知,根据,,同理可得.因此,由于,故(其中等号成立的充分必要条件是,即点为).16、(2014一试9)(本题满分16分)平面直角坐标系中,是不在轴上一个动点,满足条件:过可作抛物线的两条切线,两切点连线与垂直.设直线与,轴的交点分别为,(1)证明:是一个顶点.(2)求的最小值.【解析】(1)设P点的坐标为(a,b),易知,记两切点的坐标为则的方程分别为而点P的坐标为(a,b)同时满足(1)(2),故A,B的坐标均满足方程,故(3)就是直线AB的方程.直线PO与AB的斜率分别为从而(3)即为故AB与x轴的交点R是定点(2,0).(2)因为a=-2,故直

8、线PO的斜率则为锐角,且17、(201

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