算法设计与分析21874

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1、算法设计与分析山东师范大学信息科学与工程学院软件工程研究所徐连诚E-Mail：lchxu@163.com2006年10月9日第三章动态规划本章主要知识点：(11)3.1矩阵连乘问题3.2动态规划算法的基本要素3.3最长公共子序列问题3.4最大子段和3.5凸多边形的最优三角剖分3.6多边形游戏3.7图像压缩3.8电路布线3.9流水作业调度3.100-1背包问题3.11最有二叉搜索树3.12动态规划加速原理>2引言动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题。但是经分解得到的子

2、问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)=nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/

3、4)n=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2n/2T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n)Thosewhocannotrememberthepastaredoomedtorepeatit.——GeorgeSantayana,ThelifeofReason,BookI:IntroductionandReasoninCommonSense(1905)3动态规划基本步骤找出最优解的性质，并刻划其结构特征。递归地定义最优值。以

4、自底向上的方式计算出最优值。根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。43.1矩阵连乘问题给定n个矩阵{A1,A2,...,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,...,n-1。考察这n个矩阵的连乘积A1A2...An。由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：单个

5、矩阵是完全加括号的；矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。设有四个矩阵A,B,C,D，它们的维数分别是：A=50×10，B=10×40，C=40×30，D=30×5总共有五种完全加括号的方式：(A((BC)D))(A(B(CD)))((AB)(CD))(((AB)C)D)((A(BC))D)其数乘次数分别为：16000,10500,36000,87500,345005穷举搜索法问题描述：给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与

6、Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。算法复杂度分析：对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：也就是说，P(n)是随n的增长成指数增长的。6动态规划法——1.分析最优解的结构

7、下面我们考虑用求解。预处理：将矩阵连乘积AiAi+1...Aj简记为A[i:j]，这里i≤j。考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k

8、连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。72.建立递归关系设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i,i]=0，i=1,2,…,n。当i