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1、进入学案5轨迹与轨迹方程名师伴你行SANPINBOOK考点一考点二考点三名师伴你行SANPINBOOK返回目录求轨迹时经常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法等.1.直接法如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，直接表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.2.定义法如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法.名师伴你行SANPINBOOK3.代入法又称“相关点法”，其特点是：动点M(x,y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x
2、′,y′)的坐标，可先用x,y来表示x′,y′，再代入曲线C的方程,即得点M的轨迹方程.4.参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x,y,得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程.名师伴你行SANPINBOOK返回目录考点一直接法求轨迹方程【例1】线段AB与CD互相垂直平分，
3、AB
4、=2a,
5、CD
6、=2b,动点M满足
7、MA
8、·
9、MB
10、=
11、MC
12、·
13、MD
14、，求动点M的轨迹方程.【分析】设出M点的坐标(x,y)，直接表示出
15、MA
16、，
17、MB
18、，
19、MC
20、即可求得M点的轨迹方程.名师伴你行SANPINBOOK返回目
21、录【评析】求轨迹方程时，若题设没给出坐标系，要根据条件，建立适当的坐标系.“适当”的原则是使运算简便，方程简单.通常以已知点所在的直线为坐标轴，以已知图形的中心为坐标原点建立直角坐标系，即尽量使定点的坐标简单.【解析】以AB的中点O为坐标原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，则点A(-a,0)，B（a,0），C(0,-b)，D(0,b)，设动点M的坐标为(x,y),由已知
22、MA
23、·
24、MB
25、=
26、MC
27、·
28、MD
29、得化简得x2-y2=(a2-b2)，可证此方程为所求方程.名师伴你行SANPINBOOK返回目录＊对应演练＊如
30、图所示，已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂足为点Ｑ，且ＱＰ·ＱＦ＝ＦＰ·FQ.（1）求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程；（2）过点Ｆ的直线交轨迹Ｃ于Ａ，Ｂ两点，交直线ｌ于点Ｍ，已知ＭＡ＝λ1AF，ＭＢ＝λ2BF，求λ1+λ2的值.名师伴你行SANPINBOOK返回目录解法一：（１）设点Ｐ（x,y），则Ｑ（-1,y）.由ＱＰ·ＱＦ＝ＦＰ·ＦＱ得（x+1,0）·（２,-y）＝（x-1,y）·（-2,y），化简得Ｃ：y2=4x.名师伴你行SANPINBOOK返回目录(2)设直线ＡＢ的方程
31、为x=my+1（m≠０）.设Ａ（x1,y1），Ｂ（x2,y2）,又Ｍ()，y2=4xx=my+1，y2-4my-4=0,Δ＝（-4m）２+16＞０，故y1+y2=4my1y2=-4.由ＭＡ＝λ１ＡＦ，ＭＢ＝λ2BF得y1+=-λ1y1,y2+=-λ2y2,整理得λ1=-1-,λ2=-1-，∴λ1+λ2=-2-·()=-2-·()＝-2-·=0.联立方程组消去x得名师伴你行SANPINBOOK返回目录解法二(1)由ＱＰ·ＱＦ=ＦＰ·ＦＱ得ＦＱ·（PQ＋PF）=0，∴(PQ-PF)·（PQ+PF)=0,∴PQ２-PF２
32、=0,∴
33、PO
34、=
35、OF
36、.∴点Ｐ的轨迹Ｃ是抛物线,由题意,轨迹Ｃ的方程为y2=4x.(2)由已知ＭＡ=λ1ＡＦ，ＭＢ=λ2BF，得λ1·λ2<0,则①过点Ａ，Ｂ分别作准线ｌ的垂线，垂足分别为Ａ1,Ｂ1,则有②由①②得即λ1+λ2=0.名师伴你行SANPINBOOK返回目录考点二定义法求轨迹方程【例2】如图，已知圆A：(x+2)2+y2=1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.（1）△PAB的周长为10；（2）圆P过点B(2,0)且与圆A外切(P为动圆圆心)；（3）圆P与圆A外切且与直线x=1相
37、切（P为动圆圆心）.名师伴你行SANPINBOOK返回目录【分析】结合圆锥曲线的定义，分析出曲线E的类型，按定义写出标准方程，然后用坐标表示向量式子解方程组可得.【解析】（1）根据题意，知
38、PA
39、+
40、PB
41、+
42、AB
43、=10，即
44、PA
45、+
46、PB
47、=6>4=
48、AB
49、,故P点的轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=.因此其方程为（y≠0）.名师伴你行SANPINBOOK返回目录（2）设圆P的半径为r，则
50、PA
51、=r+1,
52、PB
53、=r,因此
54、PA
55、-
56、PB
57、=1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支
58、，且2a=1,2c=4,即a=,c=2,b=,因此其方程为4x2-y2=1(x≥).（3）依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4.因此其方程为y2=-8x.名师伴你行SANPINBOOK返回目录【评析】（1）本题为利用圆锥曲线定义求动点轨迹方程问题.若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲
