基本初等函数(B1二)

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1、专题4基本初等函数Ⅰ(B1二)一．课标要求1．指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。2．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简

2、化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）。二．命题走向指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、

3、对数型函数进行变形处理。预测高考对本节的考察是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。三．要点精讲1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，1）当为奇数时，次方根记作；2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。②性质：1）；2）当为奇数时，；3）当为偶数时，。（2）．幂的有关概念①规定：1）N*；2）；n个3）Q，4）、N*且。②性质：1）、Q）；2）、Q）

4、；3）Q）。（注）上述性质对r、R均适用。（3）．对数的概念①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。1）以10为底的对数称常用对数，记作；2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；3）；4）对数恒等式：。③运算性质：如果则1）；2）；3）R）。④换底公式：1）；2）。2．指数函数与对数函数（1）指数函数：①定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图

5、象都在第一、二象限；2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。①，②，③①，②，③，③函数值的变化特征：（2）对数函数：①定义：函数称对数函数，1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；4）对数函数与指数函数互为反函数。②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。③函数值的变化特征：①，②，③.①，

6、②，③.四．典例解析题型1：指数运算例1．（1）计算：；（2）化简：。解：（1）原式=；（2）原式=。点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例2．已知，求的值。解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算例3．计算（1）；（2）；（3）。解：（1）原式；（2）原式；（3）分子=；分母=；原式

7、=。点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。例4．设、、为正数，且满足（1）求证：；（2）若，，求、、的值。证明：（1）左边；解：（2）由得，∴……………①由得………………………②由①②得……………………………………③由①得，代入得，∵，∴………………………………④由③、④解得，，从而。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指数、对数方程例5．设关于的方程R），

8、（1）若方程有实数解，求实数b的取值范