第2讲　解析几何中的“瓶颈题”

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1、第2讲　解析几何中的“瓶颈题”【突破解析几何】第2讲　解析几何中的“瓶颈题”(本讲对应学生用书第81~88页)数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、解析几何(或与平面向量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇).其中三角函数和立体几何属于基础问题，若能够拿下应用问题和解析几何题，就攻下全部中下档题目，便锁定了128分，应该认为这已打了一个大胜仗，基本上已经进入了“第一方阵”(本科行列).解析几何重点考查的内容是：直线与方程，圆方程，圆锥曲线的定义，

2、标准方程及其应用，离心率、焦点、准线和渐近线等简单的几何性质以及数学学科内在的联系和综合.解析几何解答题重点考查的内容是：圆锥曲线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系.常考常新的题型有轨迹、最值、定值、对称、参数范围、几何证明、实际应用和探究性问题等.圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，其难度往往体现在运算上，尤其是代数式的运算，“降低运算量”应视为解答解析几何综合问题的首要理念，只有将运算量有效地降下来，才能回避繁重的计算.因而，如何降低其运算量是突破解析几何问题的关键.【解法概述】举题说法　突破瓶颈回归定义，追根溯源定义是事物本质

3、属性的概括与反映.圆锥曲线的定义不仅是推导圆锥曲线方程的依据，也是常用的解题方法.事实上，圆锥曲线的许多性质都是由定义派生出来的.对某些圆锥曲线问题、甚至一些从表面上看并不是圆锥曲线问题的问题，若采取“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的，这样可使计算量大大减少.例1　如图，圆C：(x+2)2+y2=36，P是圆C上的任意一动点，点A的坐标为(2，0)，线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q.求点Q的轨迹G的方程.(例1)【分析】因为QA

4、=QP，所以QC+QA=QC+QP=CP=r=6，再根据椭圆的定义，点Q的轨迹G是中心在原点，以C，A为焦点，长轴长等于6的椭圆.【解答】圆C的圆心为C(-2，0)，半径r=6，CA=4，连接QA.由已知得QA=QP，所以QC+QA=QC+QP=CP=r=6>CA.根据椭圆的定义，点Q的轨迹G是中心在原点，以C，A为焦点，长轴长等于6的椭圆，即a=3，c=2，b2=a2-c2=9-4=5，所以点Q的轨迹G的方程为+=1.【点评】应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等繁琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感.定义法是解

5、析几何中最朴素、最基本的数学思想方法，可以说它是求动点轨迹或其方程的重要方法之一.练习1　如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是椭圆C1和双曲线C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则双曲线C2的离心率为　　　　.(练习1)【分析】在Rt△AF1F2中运用椭圆的定义、双曲线的定义及勾股定理求解.【答案】【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，则AF2+AF1=4，AF2-AF1=2a，得AF2=2+a，AF1=2-a，而c==，由题意得(2)2=(2-a)2+(2+a)

6、2，解得a=，所以e==.【点评】也可以通过椭圆C1与圆x2+y2=3(以F1F2为直径的圆)求得交点A后，把点A的坐标代入双曲线C2求其离心率，但运算量较大.练习2　如图，已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若=4，则

7、

8、=　　　　.(练习2)【分析】过点Q作QM⊥直线l于点M，设直线l与x轴交于点N，由△PQM∽△PFN求QM，再利用抛物线的定义求QF.【答案】3(练习2)【解析】如图，过点Q作QM⊥直线l于点M，设直线l与x轴交于点N，因为=4，所以=.又FN=4，则=

9、=，所以QM=3，由抛物线定义知QF=QM=3.【点评】本题也可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线FP：y=k(x-2)与y2=8x联立求y1，y2(含k)，再通过==求k的值，然后求出点Q的坐标，最后求QF，但运算非常大.所以若能灵活地运用圆锥曲线的定义考虑问题，可使解答更为直观、运算量更低.设而不求，多思少算例1　已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：(x-1)2+(y-1)2=1，求两圆公共弦所在直线的方程.【分析】容易想到联立两个方程求得两圆的交点坐标，并利用“两点式”求出直线方程.可是明显计算量较大.事实上，考虑设

10、两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A同时满足圆C1和圆C2的方程，即+=1且(x1-1)2+(y1-1)2=1，所以+-[(x1-1)2+(y1-1)2]=1-1=0，即得x1+y1-1=0，所以点A的坐标满足方程x+