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1、9.2.4异面直线的距离1.熟练掌握两条异面直线的公垂线;2.熟练掌握两条异面直线的公垂线段;3.掌握求两异面直线的距离方法。学习目标:一、复习：1、异面直线所成的角的概念；2、异面直线所成的角的范围；3、异面直线互相垂直的概念.Abaα直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O，分别引直线a1∥a，b1∥b。我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。00°﹤90°≤二、新课引入：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？与这两条异面直线都垂直相交的直线有多少条？1、两条异面直线的公垂线的定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。AB
2、CDA`D`C`B`如图，在正方体中，找出棱AA`和BC所在直线的公垂线。直线AB公垂线的特征：（1）垂直，（2）相交。三、新授：2、两条异面直线的公垂线段：ABCDA`D`C`B`如图，在正方体中，棱AA`和BC所在直线的公垂线段是线段AB。定义：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。最小原理：两条异面直线的公垂线段的长是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。3、两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。思维拓展：两条异面直线的距离，等于其中一条直线（a）到过另一条直线（b）且与这条直线（a）平行
3、的平面的距离。ababABc即：异面直线的距离可以转化为①直线(a)上的任意一点P到平面α的距离；②直线(a)上的任意一点P到直线©的距离.P例1：找出每对异面直线的公垂线，若正方体的边长为1，请回答每对异面直线的距离是多少。1、A1B与D1C1公垂线是_____距离是__2、A1B与C1C公垂线是_____距离是____3、A1B与CD公垂线是_____距离是____4、B1B与AD公垂线是_____距离是____5、A1A与B1C1公垂线是_____距离是____A1D1BCBCABA1B111111练习：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4cm,BC=3c
4、m,B1B=2cm.求：①异面直线A1A与BC的距离；②异面直线A1A与C1D1的距离；③异面直线A1B1与BC的距离；ABCDA1B1C1D1因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，AB⊥A1A于A，AB⊥BC于B。所以AB是异面直线A1A与BC的公垂线段。AB的长度就是异面直线A1A与BC的距离。因为AB=4cm,所以A1A与BC的距离为4cm异面直线A1B与CC1的距离是多少？为什么？求异面直线的距离的方法？想一想找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。例2：设图中的正方体的棱长为a，A1ABB1CDC1D1①图中哪些棱所在的直线与BA1成异面直线。③求异面直线A
5、1B与C1C的距离。②直线BA1与C1C所成角的大小。④求异面直线A1B与B1C1的距离。例3:空间四边形ABCD四边长为10，对角线BD=8，AC=16，E，F分别是AC、BD的中点求证:(1)EF是AC、BD的公垂线段；(2)求出异面直线AC、BD的距离。ABCDEFEF是AC、BD的公垂线意味着什么？上面的答案再加上条件：E、F是中点，可以引出一些什么样的结论？思考EF⊥AC，EF⊥BDEF是AC的中垂线，△AFC是等腰三角形。ABCDEF同理：EF⊥BD，∴EF是AC、BD的公垂线段。(2)△ABC中AB=BC=10，AC=16，E为AC中点∴BE=6Rt△BEF
6、中，BF=4连结AF、FC。∵ABCD四边长都为10∵AF、CF是△ABD和△CBD对应边上的中线∴AF=CF∴△AFC是等腰三角形∵EF是底边上的中线∴EF⊥AC例4：已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF.abA’AFmnEdαabA’AFmnEαβθcd例4：已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF.abA’AFmnEαβθcGdFG=例4：已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段
7、AA’的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF.abA’AFmnEαβθcGdEF=例4：已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF.abA’AFmnEαβθcGdEF=例4：已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F，设A’E=m,AF=n,求EF.abA’AFmnαdE例4：已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA’的长度为d,在直线a、b
