空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流

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1、第3章理想不可压缩流体平面位流3．1理想不可压缩流体平面位流的基本方程3．2几种简单的二维位流3．2．1直匀流3．2．2点源3．2．3偶极子3．2．4点涡3．3一些简单的流动迭加举例3．3．1直匀流加点源3．3．2直匀流加偶极子3．3．3直匀流加偶极子加点涡3．4二维对称物体绕流的数值解3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方程组。在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事。因为实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂

2、边界条件下求得基本方程的解，困难是相当大的。为了简化求解问题，本章首先介绍流体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。这是早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性流动问题要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相当的可信程度。1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程初始条件和边界条件为在t=t0时刻，在物体的边界上在无穷远处如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。这是因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度V和压强p相互偶合影响，需要一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可进

3、一步简化，特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋运动情况，流场的速度旋度为零，即存在速度势函数（位函数）为如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到3.1、平面不可压位流的基本方程由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二阶线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果对这个方程赋予适定的定解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。与压强p没有进行偶合求解，那么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速度值作为已知量代入运动方程中，解出p值。实际求解并不是直接代入运动方程中，而是利用Bernoulli(

4、或Lagrange)积分得到。对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下，对于无旋流动，运动方程的积分形式为对于定常流动，质量力只有重力，得到如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力的作用）由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由Bernoulli方程得到。在这种情况下整个求解步骤概括为：3.1、平面不可压位流的基本方程（1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量；（2）由Bernoulli方程确定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而大大简化了问题的复杂性。综合起来，对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程及其初边界

5、条件为初始条件边界条件为固壁面条件自由面条件无穷远处在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，及在边界上给定速度势函数的偏导数。3.1、平面不可压位流的基本方程2、速度势函数的性质（1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方向的速度分量，速度势函数沿着流线方向增加。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数，而不影响流体的运动。（2）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。满足解的线性迭加原理。如果速度势函数满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯方程。（3）速度势函数相等的点连成的线称为等势线，速度方向垂直于等势线。3.1、平面不可压位流

6、的基本方程（4）连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度势函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。3、流函数及其性质根据高等数学中，格林公式可知（平面问题的线积分与面积分的关系）如果令3.1、平面不可压位流的基本方程由此可见，下列线积分与路径无关存在的充分必要条件是这是不可压缩流体平面流动的连续方程。这样，下列微分一定是某个函数的全微分，即这个函数称为流函数。由此可见，对于不可压缩流体的平面流动，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有涡流动还是无涡流动，均存在流函数。流函数的概念是1781年Lagrange首

7、先引进的。流函数具有下列性质（1）流函数值可以差任意常数而不影响流动。（2）流函数值相等的点的连线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合。3.1、平面不可压位流的基本方程在流函数相等的线上，有上式即为平面流动的流线方程。（3）流函数在某一方向的偏导数顺时针旋转90度方向的速度分量。根据流函数这一性质，如果沿着流线取s，反时针旋转90度取n方向，则有（流函数增值方向沿速度方向反时针旋转90度方向）（4）理想不可压缩流体平面势流，流函数满足拉普拉斯方程。即3.1、平面不可压位流的基本方程（5）任意两条流线之间的流函数之差等于通过此两条流线之

8、间的单宽流量q。4、平面势流流函数与速度势函数之间的关系及其流网的概念（1）理想不可压缩流体，平面势流流函数和速度势函数均满足拉普拉斯方