发展型方程的非协调有限元研究

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1、摘要有限元方法足当今科学与工程计算中的丰流方向之一．由于非协调元与协调元相比有很多优势，如：对于自由度定义在单元的边上及单元自身上的非协调元来说，由于每个未知量只涉及两个单元，因此在信息传递上是廉价的，而且容易进行并行计算．相对于协调混合元，非防调混合元更容易构造使其满足LBB条件，因此非协调元的研究得到广泛的关注．此外，传统的有限元方法要求剖分满足j下则性条件或拟一致假设，这些条件在一定程度上限制了有限元的应用．在实际应用中，对于窄边区域上的问题，如果采用传统正则削分，总体自由度的增加将会使计算量非常大．这时采用各向异性剖分，就会使得用较少的自由度而得到同样的估计结果．目前各向

2、异性有限元方法已经成为有限元领域备受关注的热点之一．本文针对不同的发展型方程(包括Sobolcv方程、抛物型积分微分方程、非线性Sobolev方程、非线性双曲方程、非定常的热传导一对流方程等)，分别从各向异性非协调有限元方法、非协调差分一流线扩散方法、非协调混合有限元方法等不同角度出发，对单元的构造，理论分析及数值计算等方面进行深入系统的探讨．第三章和第四章考虑了具有各向异性特征的低阶非协调单元(包括矩形元和三角形元)，将它应用至USobolcv方程和抛物型积分微分方程，在半离散格式下得到了L2模和H1模的最优估计以及Ⅳ1模的超逼近和超收敛结果．而且还给出了Euler-Galer

3、kin格式署UCrank-Nicolson—Galcrkin格式的全离散分析．所给出的大量数值试验也验证了理论结果的正确性．第五章研究了一类对流占优非线性Sobolcv方程的经济型差分一流线扩散非协调有限元方法．分别给出了Eulcr-EFDSD和Crank-Nicolson--EFDSD格式的最优的精度分析．第六章，考虑了一类非线性双曲方程的非协调日1一Galcrkin混合有限元方法并给出了半离散格式的Ⅳ1模和H(div)模的最优估计．第七章还考虑了非定常的热传导一对流方程的非协调混合有限元方法，在半离散格式下，得到了关于速度L2(H1)一模，压力L2(L2)一模和温度己2(日1

4、)一模的最优误差估计。关键词：发展型方程；非协调有限元；混合有限元；各向异性，o最优估计；AbstractThefiniteelementmethodsareoneofmainflowsofscienceandengineer-ingcalculationnowadays．Comparedwiththeconformingfiniteclementmethods，nonconformingfiniteelementmethodsarcappropriate，fortheyhavethestrikingadvantage．Forexample，forthenonconforming

5、finiteelementswhichdegreeoffreedomisdefinedwiththelinesofelementsandelementsthemselves，theeveryunknownisassociatedwiththeclementface，eachdegreeoffreedombelongstoatmosttwoelements．Thisresultsincheaplocalcommunication．NonconformingfiniteelementsmoreeasilyfulfillthediscreteLBBconditionthanconfor

6、mingfiniteelements．Therefore，nonconformingfiniteelementmethodshavedrawnincreasingattention．Inaddition，theclassicalfiniteelementmethodsdemandthatthesub-divisionsshouldsatisfytheregularconditionorquasi—uniform，whichrestrictstheapplicationofthefiniteelementmethods．Infact，forproblemsinnarrowdomai

7、n，ifweuseconventionalregularsubdivisions，theincreaseoftotaldegreesoffreedomwillmakethecalculatedamountbecomeverylarge．However，ifweuseanisotropicsubdivisions，wewillobtainthesameestimatesresultsastraditionalfiniteelementmethodswithlessdegreeoff