三次函数 性质大全

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1、三次函数性质大全本文从三个专题(专题一三次函数的图象及单调性,专题二三次函数的对称性,专题三三次函数切线问题)来介绍三次数的性质,对同学们学习三次函数大有帮助,可以解绝三次函数涉及到的高考题,是能够充分准备,应对高考。专题一三次函数的图象及单调性,当时,函数是单调增函数,或单调减函数,当时,设的两根分别为则原函数时函数图象(先上升)   时函数图象(先下降)  1.时在或单调递增;在单调递减在处取得极大值,在处取得极小值.2.时在或单调递减;在单调递增在处取得极小值,在处取得极大值.注意:三次函数f(x)有极值导函数的判别式3.一般地在导数有两根且时,在处有;

2、在处有,4.三次方程根的个数问题,由三次函数图象极易得到以下结论:27若为三次函数,其导数为,则:⑴若或恒成立,则仅有一实数解。⑵若有两个不等实数解则:①若,则有一实数解.②若,则有二个不等实数解.③若,则有三个不等实数解.(注:①、③可进一步推广)例1.讨论关于的方程根的个数.解:==0解为:或⑴当a=-1时,此时=,所以=0仅有一实数解.⑵当a≠-1时,此时=0有两个不等实根:1,-a,若>0即时,则=0有一个不等实数解.若=0即时,则=0有二个不等实数解.若<0即或时,则=0有三个不等实数解.所以当时,则=0有一个不等实数解当时,则=0有二个不等实数解.

3、当或时,则=0有三个不等实数解.例2.(05年全国高考题)当取何值时,与x轴仅有一个交点?解:由=得:x=或x=1因为与x轴仅有一个交点,所以>0即则或所以当或时,y=与x轴仅有一个交点.例3.(08年四川高考题)已知是函数的一个极值点。⑴求;⑵求函数的单调区间;⑶若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。解:⑴⑵的单调增区间是;的单调减区间是⑶令,则得x=1或x=3因为直线与函数的图象有3个交点,则27所以即因此,的取值范围为。(注:本题利用的是结论的推广)4(2013•延庆县一模)已知函数f(x)=ax3+bx2﹣2(a≠0)有且仅有两个不同的零点x1,

4、x2,则()A.当a<0时,x1+x2<0,x1x2>0B.当a<0时,x1+x2>0,x1x2<0C.当a>0时,x1+x2<0,x1x2>0D.当a>0时,x1+x2>0,x1x2<027解:原函数的导函数为f′(x)=3ax2+2bx=x(3ax+2b),令f′(x)=0,可解得x=0,或x=,故当x=0,或x=时,函数取得极值,又f(0)=﹣2<0,所以要使函数f(x)=ax3+bx2﹣2(a≠0)有且仅有两个不同的零点,则必有f()=a+b﹣2=0,解得,且b>0,即函数的一根为x1=,(1)如下图,若a>0,可知x1=<0,且为函数的极大值点,x=

5、x2处为函数图象与x轴的交点,此时函数有2个零点:,x2>0,显然有x1x2<0,则f()=a+b﹣2=﹣2==8>0,,故可排除C,D;(2)如图2,若a<0,必有x1=>0,此时必有x1x2<0,x1=的对称点为x=,则f()=a+b﹣2=﹣2==8>0,则必有x2>,即x2﹣>0,即x1+x2>0故选B275b已知函数f(x)=x3﹣3a2x﹣6a2+4a(a>0)有且仅有一个零点x0,若x0>0,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(0,1]解:令f'(x)=3x2﹣3a2=3(x﹣a)(x+a)=0,解得x1=﹣a,x2

6、=a,其中a>0,所以函数的单调性和单调区间如下:x∈(﹣∞,﹣a),f(x)递增;x∈(﹣a,a),f(x)递减;x∈(a,+∞),f(x)递增.因此,f(x)在x=﹣a处取得极大值,在x=a处取得极小值,结合函数图象,要使f(x)只有一个零点x0,且x0>0,只需满足:f(x)极大值=f(﹣a)<0,即﹣a3+3a3﹣6a2+4a<0,整理得a(a﹣1)(a﹣2)<0,解得,a∈(1,2),故选B.6已知函数f(x)=﹣x3+bx2﹣b3(b>0),有且仅有两个不同的零点x1,x2,则(  )A.x1+x2>0,x1x2<0B.x1+x2>0,x1x2>0

7、C.x1+x2<0,x1x2<0D.x1+x2<0,x1x2>0解:∵f′(x)=﹣3x2+2bx,由f′(x)=0得到x=0或b,∴f(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,b)递增,在(b,+∞)递减,画出函数f(x)的图象,如图示:27,由图象得:x1<0,x2=b>0,x1•x2<0,又f(﹣b)=b3>0,∴x1>﹣b,∴x1+x2>0,故选:A.专题二三次函数的对称性我们知道,二次函数是轴对称图形,其对称轴方程式是。三次函数是奇函数,其图象关于点对称,三次函数的图象关于点对称,那么对于一般的三次函数有没有对称中心呢?答案是肯定的,有对称中心,其对称中心是

8、。下面给出证明。证明1:二次函数通过配

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