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时间:2019-05-23
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1、5.1.1基本矩阵运算元--------------------------------------------------------------------------------我们在第二章已说明过MATLAB的运算是以阵列(array)及矩阵(matrix)方式在做运算,而这二者在MATLAB的基本运算性质不同,阵列强调元素对元素的运算,而矩阵则采用线性代数的运算方式。我们就来说明矩阵运算的特点。以下将阵列及矩阵的运算符号及其意义列出阵列运算符号矩阵运算符号 功能+ + 加- - 减.* * 乘
2、./ / 左除. 右除.^ ^ 次方.' ' 转置利用这些运算符号即可进行以下的矩阵运算。>>A=[251;738;4521;16130];>>A'%A的转置矩阵A=274165351318210>>A=[4-13];B=[-252];>>dot_prod=sum(A.*B)%二个阵列做内积dot_prod=-7>>c=dot(A,B)%以dot函数也可做内积运算c=-7>>A=[4;-1;3];>>dot_prod=sum(A'.*B);%如果A是行阵列则先做转置,再做内积>>F=[25-1];
3、G=[01-3];>>out_prod=F'*G;%二矩阵做外积>>A=[2,5,1;0,3,-1];>>B=[1,0,2;-1,4,-2;5,2,1];>>C=A*B%矩阵相乘,注意二个矩阵的大小须相容C=222-5-810-7>>A=[21;43];>>A^2%矩阵次方ans=411695.1.2矩阵多项式--------------------------------------------------------------------------------函数polyvalm是以矩阵方式做多
4、项式函数计算,有别于polyval是以阵列方式计算函数值。它的语法为polyvalm(a,X),其中X为一矩阵而a则是一多项式。以下的例子可说明其用法。>>X=[111;222;333];>>a=[111];%注意a=X*X+X+I>>f=polyvalm(a,X)f=8771415142121225.3.1反矩阵、矩阵秩与行列式--------------------------------------------------------------------------------一个正方矩阵A的
5、反矩阵的定义是,所以此二矩阵相乘不论是或,结果皆为单位矩阵。但是一矩阵如果是奇异(singular)或是条件不足(ill-conditioned),其反矩阵并不存在。条件不足的矩阵与一组联立方程组其中的方程式并不独立有关,而一矩阵的秩(rank)即是代表矩阵中独立方程式个数。如果一矩阵的秩数和其矩阵的列数相等,则此矩阵为非奇异且其反矩阵存在。MATLAB的反矩阵函数和秩函数语法分别为inv(A),rank(A),:例如:>>A=[21;43];>>rank(A)2%表示A秩数为2且等于矩阵的列数>>in
6、v(A)%反矩阵ans=1.5000-0.5000-2.00001.0000>>B=[21;32;45];%B为奇异矩阵>>rank(B)ans=2%表示B秩数为2,但是其列数为3>>inv(B)???Errorusing==>invMatrixmustbesquare.相信大家都会计算矩阵行列式的值,但是如一矩阵大小超过4以上,行列式值的计算就会繁复。MATLAB提供计算行列式的函数,其语法为det(A),例如:>>A=[130;-152;121];>>det(A)%矩阵之行列式值ans=10沪p算就
7、会繁复。MATLAB提供计算行列式的函数,其语法为det(A),例如:>>A=[130;-152;121];>>det(A)%矩阵之行列式值ans=105.3.2特徵值与特徵向量--------------------------------------------------------------------------------假设A为一个 矩阵,而X为一个有n列的栏向量,为一纯量。考虑以下的数学式 如果X由不为零的元素所组成,其中要满足上式称为矩阵A的特徵值(eigenvalue),而X称为矩
8、阵A的特徵向量(eigenvector)。特徵向量代表一个正规正交(orthonormal)的向量组,所谓的正规正交向量,是指这向量与自身做内积的值为一单位向量;在几何关系上是指二量相互垂直且此其内积值再做正规化(normalization)。上式也可改写为 其中I为单位矩阵。 则eigenvalue可以用特徵方程式计算 上述的二次方程式可求解二个根分别为,这二个值即为A的特徵值。而A的特徵向量求法如下,分别将任一特徵值代入。例如 另一个特
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