离散数学-耿素云PPT(第5版)

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1、1代数系统简介2第9章代数系统简介9.1二元运算及其性质9.2代数系统9.3几个典型的代数系统39.1二元运算及其性质二元运算及一元运算的定义二元运算的性质交换律、结合律、幂等律、消去律分配律、吸收律二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元4二元运算的定义及其实例定义设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算.也称S对f封闭.例1(1)N上的二元运算：加法、乘法.(2)Z上的二元运算：加法、减法、乘法.(3)非零实数集R*上的二元运算:乘法、除法.(4)设S={a1,a2

2、,…,an},ai∘aj=ai，∘为S上二元运算.5二元运算的实例（续）(5)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.(6)幂集P(S)上的二元运算：∪,∩,－,.(7)SS为S上的所有函数的集合：合成运算∘.6n元运算定义设S为集合，n为正整数，函数称为S上的n元运算，简称为n元运算.例2(1)Z,Q和R上的一元运算:求相反数(2)非零有理数集Q*和实数集R*的一元运算:倒数(3)复数集合C上的一元运算:求共轭复数(4)幂集P(S

3、)上,全集为S:求绝对补运算~(5)A为S上所有双射函数的集合，ASS:求反函数(6)在Mn(R)(n≥2)上，求转置矩阵7运算的表示算符：∘,∗,·,,等符号表示n元运算∘(a1,a2,…,an)=b.对二元运算∘，如果x与y运算得到z，记做x∘y=z；对一元运算∘,x的运算结果记作∘x注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符8公式表示例3设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：x,y∈R,x∗y=x.那么3∗4=30.5∗(-3)=0.5二元与一元运算的表示9运算表的形式∘a1a2

4、…an∘aia1a2...ana1∘a1a1∘a2…a1∘ana2∘a1a2∘a2…a2∘an.........an∘a1an∘a2…an∘ana1a2...an∘a1∘a2...∘an运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）10运算表的实例例4A=P({a,b}),,∼分别为对称差和绝对补运算（{a,b}为全集）的运算表∼的运算表{a}{b}{a,b}X∼X{a}{b}{a,b}{a}{b}{a,b}{a}{a.b}{b}{b}{a,b}{a}{a,b}{b}{a}{a}{b}

5、{a,b}{a,b}{a}{b}11运算表的实例（续）例5Z5={0,1,2,3,4},,分别为模5加法与乘法的运算表的运算表012340123401234012341234023401340124012301234000000123402413031420432112二元运算的性质定义设∘为S上的二元运算,(1)如果对于任意的x,yS有x∘y=y∘x,则称运算在S上满足交换律.(2)如果对于任意的x,y,z∈S有(x∘y)∘z=x∘(y∘z),则称运算在S上满足结合律.(3)如果

6、对于任意的x∈S有x∘x=x,则称运算在S上满足幂等律.13实例分析Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为A上A，

7、A

8、2.集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+有有无普通乘法有有无Mn(R)矩阵加法+有有无矩阵乘法无有无P(B)并有有有交有有有相对补无无无对称差有有无AA函数符合无有无14二元运算的性质（续）定义设∘和∗为S上两个不同的二元运算,(1)如果x,y,z∈S有(x∗y)∘z=(x∘z)∗(y∘z)z∘

9、(x∗y)=(z∘x)∗(z∘y)则称∘运算对∗运算满足分配律.(2)如果∘和∗都可交换,并且x,y∈S有x∘(x∗y)=xx∗(x∘y)=x则称∘和∗运算满足吸收律.15实例分析集合运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配无+对不分配Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配无+对不分配P(B)并与交对可分配有对可分配交与对称差对可分配无对不分配Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为A上A，

10、A

11、

12、2.16二元运算的特异元素单位元定义设∘为S上的二元运算,如果存在el（或er）S，使得对任意x∈S都有el∘x=x(或x∘er=x)，则称el(或er)是S中关于∘运算的左(或右)单位元.若e∈S关于∘运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于∘运算的单位元.单位元也叫做幺元.17二元运算的特异元素（续）零元设∘为S上的二元运算,如果存在θl（或θr）∈S，使得对任意x∈S都有θl∘x=θl(或x∘θr=θr)，则称θl(或θr)是S中关于∘运算的左(或右)零元.若θ∈