概率论与数理统计习题详解 周概容 习题5解

概率论与数理统计习题详解 周概容 习题5解

ID:37565980

大小:339.48 KB

页数:10页

时间:2019-05-25

概率论与数理统计习题详解 周概容  习题5解_第1页
概率论与数理统计习题详解 周概容  习题5解_第2页
概率论与数理统计习题详解 周概容  习题5解_第3页
概率论与数理统计习题详解 周概容  习题5解_第4页
概率论与数理统计习题详解 周概容  习题5解_第5页
资源描述:

《概率论与数理统计习题详解 周概容 习题5解》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、习题五大数定律和中心极限定理5.1利用辛钦大数定律证明伯努利大数定律.证明考虑成功的概率为p0(

2、变量X的阶矩kαk=EX(k>)0存在,X1,X2,Λ,Xn是独立与X同分布随机变量,试证明,1nkP−lim∑Xi=αk.n→∞ni=1kkkk证明由于X1,X2,Λ,Xn独立同分布,可见X1,X2,Λ,Xn也独立同分布,且EX(k>)0存在.因此,根据辛钦大数定律,有1nkkP−lim∑Xi=EX=αk.n→∞ni=125.3假设随机变量列X1X,2,ΛX,n,Λ两两独立并且同分布,EXi=μ,DXi=σ存在,证明X1,X2,Λ,Xn的算术平均值Xn依概率收敛于(各个变量共同的)数学期望μ:n1P−lim∑Xi=μ.n→∞ni=1证明易见⎛1n⎞1nEXn=E⎜⎜∑Xi⎟

3、⎟=∑EXi=μ,⎝ni=1⎠ni=1⎛n⎞n211σDXn=D⎜⎜∑Xi⎟⎟=2∑DXi=.⎝ni=1⎠ni=1n由切贝绍夫(切比雪夫)不等式可见,对于任意ε>0,有2{}DXnσ()P

4、Xn−μ

5、≥ε≤=→0n→∞.22εnε5.4设随机变量X在区间(−)2,1上服从均匀分布,X1,X2,Λ,Xn是独立与X同分布随机变量,试证明,1n2P−lim∑Xi=1.n→∞ni=1—习题解答●5.1—证明由X1,X2,Λ,Xn独立同在区间(−)2,1上服从均匀分布,可见数学期望存在:22222EXi=2/1,DXi=/912;从而X1,X2,Λ,Xn独立同分布,且EXi=DXi+(

6、EXi)=1存在.因此,根据辛钦大数定律,有1n22P−lim∑Xi=EX=1.n→∞ni=15.5假设天平无系统误差.将一质量为10g的物品重复进行称量,证明当称量次数无限增大时,称量结果的算术平均值依概率收敛于10g.解因为各次称量的结果Xi(i=,2,1Λ,n,Λ)可以视为独立同分布随机变量,其数学期望都等于EXi=10(gi=,2,1Λ,n,Λ),所以根据辛钦大数定律,当n→∞时,n次称量结果的算术平均值Xn依概率收敛于其共同的数学期望10g.5.6设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,X1,X2,Λ,Xn是独立与X同分布随机变量,试证明,n122P−lim∑Xi=λ+

7、λ.n→∞nk=1222证明由于X1,X2,Λ,Xn独立同泊松分布,可见X1,X2,Λ,Xn也独立同分布,而且数学期望存在:222EXi=DXi+(EXi)=λ+λ.因此,根据辛钦大数定律,有n122P−lim∑Xk=λ+λ.n→∞nk=15.7设随机变量X服从参数为(m,p)的二项分布,X1,X2,Λ,Xn是独立与X同分布随机变量,求极限n12P−lim∑Xi.n→∞ni=1222解由于X1,X2,Λ,Xn独立同服从参数为(m,p)的二项分布,可见X1,X2,Λ,Xn也独立同二项分布,而且数学期望存在:222EXi=(EXi)+DXi=(mp)+mp1(−p),因此,根据辛

8、钦大数定律,有n122P−lim∑Xi=(mp)+mp1(−p).n→∞ni=15.8假设随机变量X1,X2,Λ,Xn独立同服从参数为2的指数分布,证明当n充分大时,22222Sn=ΛX1+X2++Xn近似服从正态分布N(μn,σn),并通过前4阶矩表示μn和σn.证明参数为2的指数分布的概率密度为—习题解答●5.2—⎧−2x⎪e2,若x>0,11f(x)=⎨EXi=,DXi=;⎪⎩0,若x>;02422EXi=DXi+(EXi)=2/1,而由分部积分法可见∞44−2x3EXi=2∫xedx=.202422从而DXi=EXI−(EXi)=54;ESn=n,2/DSn=5n4/

9、.由于X1,X2,Λ,Xn独立同分布,且数学期望和方差存在,则根据列维-林德伯格中心极限定理,当n充分大时Sn近似服从正态分布,2且μn=ESn=n2,σn=DSn=5n4.5.9一包装工平均三分钟完成一件包装.假设实际完成一件包装所用时间服从指数分布,试利用中心极限定理,求完成100件包装的总时间需要5h到6h的概率的近似值.解设Xi是完成第i件包装所用时间.由条件知,Xi服从指数分布,EX=3min,从而分布参数λ=3/1,DX=9.记T=X1+X2+Λ+X100为完成100件包装的总时间,则T近似

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。