近世代数课件--3.5子环、环的同态

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1、近世代数(AbstractAlgebra)研究方法：近世代数代数系统（带有运算的集合）群环域1、研究其子系统、商系统（从内部入手）（从外部入手）2、研究其同态和同构子系统：子群、子环、子域商系统：商群、商环、商域§3.5：子环、环的同态10/8/2021数学与计算科学学院教学目的：§3.5：子环、环的同态（1）掌握子环（子除环，子整环，子域）的定义及其等价条件；（2）掌握环的同态及其若干性质；（3）理解并能使用“挖补定理”;（4）掌握类比的数学思想.10/8/2021数学与计算科学学院一、子环定义及等价条件（与群相类比给出

2、）：下面我们把环与群类比，把环看作是具有一个乘法运算的加群，即设想加群是基础，而乘法是环的“灵魂”。甚至在数学里，发现真理的工具是归纳和类比。——法国数学家拉普拉斯类比是通过两类不同对象A,B间的某些属性的相似，从而A具有某种其他属性便猜想B也有这种属性。10/8/2021数学与计算科学学院在群论中在环论中定义1：设，称G为群，若G对其上的一种代数运算满足：（I）闭合律；（II）结合律；（III）存在单位元；（IV）G中任一元素存在逆元。定义3：设为群，称G的子集H为G的子群，若对于G的乘法来说H也作成一个群。记作：。定义

3、2：设，且R带有加法和乘法两种运算，称R为环，若R满足(i)为加群；(ii)为半群；(iii)分配律成立。定义4：设，R为环（除环，整环，域）,称R的子集S为的R子环（子除环，子整环，子域），若S对于R的代数运算来说也作成一个环（除环，整环，域）。记作：（S是R的子环时）。10/8/2021数学与计算科学学院例1：一个环R至少包含两个子环R和。例2：设R=Z,则是R的子环。二、子环的存在性及其例子：（平凡子环）例3：设R=Mn(F)(域F上的全矩阵环），则是R的子环。（因为，的元素可交换）（子除环、子域）10/8/2021

4、数学与计算科学学院例4：设，，。可以验证，例5：设。则容易验证：10/8/2021数学与计算科学学院例6：设。现定义的运算：（1）容易验证，关于所定义的运算构成一个环。（2）容易验证令。10/8/2021数学与计算科学学院定义：设和是两个环，则称和同态（同构），若满足三、环的同态及其若干性质（2）保持运算（保持加法和乘法运算）此时记和的同态（同构）为：。（1）存在满射（双射）；10/8/2021数学与计算科学学院例7：设，,作。容易验证是同态。例8：设，。现定义的运算：（1）可以验证，关于所定义的运算构成一个环。（2）容易

5、验证是同态。10/8/2021数学与计算科学学院具有同样多代数运算的代数系统间的同态可以保持相应的结合律、交换律和分配律。定理2（§1.8,P22）：假定，都是集合A的代数运算，都是集合的代数运算，和同态，那么，（i）若适合第一分配律，也适合第一分配律；（ii）若适合第二分配律，也适合第二分配律。定理1（§1.8,P22）：假定，对于代数运算和来说，和同态，那么，（i）若适合结合律，也适合结合律；（ii）若适合交换律，也适合交换律。10/8/2021数学与计算科学学院定理b(P43)：设，为两个群，若，则有：（1）的单位元

6、的同态象是的单位元；（2）的元的逆元的同态象是的同态象的逆元。定理a(P40)：设G，，都带有一种代数运算，且,若G为群则也是一个群.在群论中在环论中定理1：设与都带有加法和乘法两种运算,且，若是环，则也是环。定理2：设和是两个环，若，则有：（1）；（2）；（3）可交换，则也可交换；（4）有单位元1，则也有单位元，且。10/8/2021数学与计算科学学院由上面的讨论我们可以看出，经过了一个同态满射之后，环的单位元和交换律是可以保持的。我们知道，若干普通计算方法在一个一般的环里不成立，它们要在有附加条件的环里才能成立。由§3

7、.2知，环里的三种非常重要附加条件是：交换律、单位元和零因子。那么现在的问题是：一个环有没有零因子这个性质经过了一个同态满射之后可不可以保持呢？10/8/2021数学与计算科学学院例7：设，,作。（1）容易验证是同态。（2）可以看出无零因子，而却有零因子，因为。注：此例表明：，无零因子，但却有零因子。反过来，结论又会如何呢？即若，无零因子，是否有零因子呢？10/8/2021数学与计算科学学院例8：设，。现定义的运算：（1）容易验证，关于所定义的运算构成一个环。作。（2）容易验证是同态。（3）可以看出无零因子，而却有零因子，

8、因为对于，我们有。注：此例表明：，有零因子，但却没有零因子。10/8/2021数学与计算科学学院但若把同态换为同构的话，则这个环的代数性质当然没有什么区别了，所以有：上两例表明：一个环有没有零因子这个性质经过了一个同态满射后不一定能保持的。（除环、域）（除环、域）定理3：设和是两个环，并且，那么若是整环