第七讲 Hahn-Banach定理

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1、4Hahn‐Banach定里分析形式—线性泛函的延拓定里定里1（实线性空间的Hahn‐Banach定里）设是实线性空间，是上的一个次线性泛函，是一个线性子空间，是上的一个线性泛函，满足（1）则可以延拓成上的线性泛函，且满足（2）证明（a）将保持受控条件延拓到高一维的空间上去。取，，作，这里是任意实数，则是从到的延拓。取令，，则受控条件（1）保证非空，取，则满足受控条件。若，则定理得正。否则，重复刚才的步骤进一步延拓，若重复有限次就将延拓到上了，则定理得正，否则用Zorn引理。（b）记为所有满足受

2、控条件的延拓的全体，即在上引入偏序，则的任何全序子集有上界，其中。由Zorn引理知有极大元，该极大元就是所求延拓。定理2（复线性空间上的Hahn‐Banach定理）设是复线性空间，是上的半模，是一个线性子空间，是上的一个线性泛函，满足（3）则可以延拓成上的线性泛函，且满足（4）证明（a）视为实线性空间，令，则由（3）得，用定理1将延拓到实线性空间上得，且满足受控条件。（b）令，直接验证就是满足要求的一个延拓。定理3（Hahn‐Banach保范延拓定理）设是空间，线性子空间，是上的线性连续泛函，则

3、可以保持范数不变的延拓成上的线性连续泛函，即存在满足证明令，对用定理2即可。推论1设是空间，，存在使得。证明令，，将保范延拓到就得所需。推论2设是空间，，存在使得。证明令，则，将保范延拓到就得所需。定理4设是空间，线性子空间，使得，则存在，满足证明令，，则，，将保范延拓到上即可。推论设是空间，子集，，则的充要条件是。证明，用的连续性。，用定理4反证。从内积空间上看Hahn‐Banach定理：o1设是内积空间，完备子空间，正交投影算子，连续，，则就是从到的一个保范延拓。o2设是内积空间，，,就是区

4、分的线性连续泛函。o3设是内积空间，，，则。o4设是内积空间，完备子空间，使得，则满足且。o5设是内积空间，子集，则。几何形式—凸集分离定理极大子空间，超平面，分离，严格分离，承托平面定理5设是一个线性空间，是上的一个非零线性泛函，则是一个极大子空间。反过来，若是一个极大子空间，则存在上的非零线性泛函使得。设是一个线性赋范空间，是上的一个非零线性连续泛函，则是一个闭极大子空间。反过来，若是一个闭极大子空间，则存在上的非零连续线性泛函使得。推论设是一个线性空间，是上的一个非零线性泛函，则对，是一个

5、张超平面，且。反过来，若是一个极大子空间，则存在上的非零线性泛函及使得。设是一个线性赋范空间，是上的一个非零线性连续泛函，则对，是一张闭超平面，且。反过来，若是一个闭极大子空间，则存在上的非零连续线性泛函及使得。定理7（点与具有内点的凸集的分离）设是空间，凸子集，，，则存在闭超平面分离，即使得。证明设，令，则。从而的Minkowski泛函一致连续且。令，。将延拓到得，所以，从而连续。，即，所以。另一方面，，即，所以。定理8（凸集与凸集分离）设是空间，是两个凸子集，则存在闭超平面分离，即存在使得证

6、明令，则凸且，，对用定理7即可。推论（Mazur定理）设是空间，凸子集，线性流形，则存包含的闭超平面，使得在的一侧。证明存在使得，由线性流形，所以，其中是线性子空间，，即，从而。于是。定理9（点与闭凸集严格分离）设是空间，闭凸子集，，则存在闭超平面严格分离，即存在使得证明存在，由定理8知存在使得，从而。推论（紧凸集与闭凸集严格分离）设是空间，闭凸子集，紧凸子集，且，则存在闭超平面严格分离，即存在使得证明令，则闭凸，，对用定理9得，所以定理10设是空间，真闭凸子集且含有内点，则过的每一边界点都有一

7、张闭承托平面。证明，由凸，对用定理7即可。应用o1抽象函数的微分中值定理定理11设是空间，可微，则，使得。证明由，使得，令，对用微分中值定里即可。o2凸规划问题的Lagrange乘子设是一个线性空间，凸子集，是上的凸泛函（1）定理12（Kuhn‐Tucker）设是一个线性空间，凸子集，是上的凸泛函，且存在使得。若是（1）的解，则存在使得（2）证明考虑极值问题(3)则（3）等价于（4）（4）可以解释为泛函分离中的集合和点。但是不是凸集，所以要作（P122）。对用凸集分离定理，由的特性可得，，从而（

8、2）成立。o3凸泛函的次微分设是空间，是凸泛函，在的次微分定义为定理13设是空间，是凸泛函，在连续，则。证明确定了中的凸集在点处的承托平面。由在连续知道，对及用凸集分离定理即可。Problem1研究中各种凸集的分离定理及承托平面。ExeP125，3，4，6，16，17FunnoteHahn(1879‐1934)哈恩的主要贡献在变分法、函数论、泛函分析和傅立叶积分等方面。他是最早提出测度和积分的抽象理论的学者之一，其中有一些理论以他的名字命名。在实变函数中，他指出连续弧作为点集来说可以有局部连通的