第四章幂函数

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1、第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）4.1(1)幂函数的性质与图象教学目标：1.理解掌握幂函数的概念和基本性质，会画几种见的幂函数y=xa的图象。2.通过对几个幂函数图象的研究，掌握幂函数图象的规律，从而对k∈Q的一般情况有所了解。渗透类比的数学思想。3.理解同类事物之间联系规律，培养由特殊到一般的思维方法。教学重点及难点：幂函数的图象及其一般规律、幂函数的性质。教学过程：1.复习引入1)画出函数y=x、y=、y=x2的图象，并指出其单调性和奇偶性。2）思考y=x3、y=、y=x-2、y=的图象

2、会是怎样的？为什么？2.学习新课以前学过和正比例函数y=x和反比例函数y=，二次函数y=x2，都可以统一写成y=xk的形式，其中k=1、-1、2。我们把形如y=xk（k为常数，k∈Q）的函数叫做幂函数。下面我们通过几个函数的研究来进一步认识幂函数。例1.研究函数y=的定义域、奇偶性和单调性，并且作出它的图象。解：。图像通过（1，1）点。21例2.研究函数y=的定义域、奇偶性、单调性、最大或最小值，并且作出它的图象。解：，函数的图像通过（0，0）点和(1,1)点。最小值为0，而无最大值。例3.研究函

3、数y=(m,n∈Q)的定义域、单调性、奇偶性、画出函数在第一象限的图象，以及经过的特殊点。讨论：1）.mn>0时；①m奇、n奇时②m奇、n偶时；③m偶、n奇时。解：2）.mn<0时①m奇、n奇时②m奇、n偶时；③m偶、n奇时。M,n均为正奇数奇偶性奇函数单调性单调增函数图像特征过（1，1）和（0，0）点21M为正偶数，n为正奇数奇偶性非奇非偶函数单调性在图像特征过（0，0）和（1，1）点N为正偶数，m为正奇数奇偶性偶函数单调性图像特征过(0,0).(1,1)点。N=0{1}奇偶性偶函数单调性不增不

4、减213.练习①研究函数的定义域、奇偶性和单调性，并作出其图像.②研究函数的定义域、奇偶性、单调性并作出其图像.③设，已知幂函数为偶函数，且在上递减，试确定满足条件的幂函数，并作出它们的大致图像.五、回家作业：1.幂函数y=xs与y=xt的图象在第一象限通过定点（1，1）。若它们在第一象限的部分关于直线y=x对称，则s、t应满足的条件。st=12.已知幂函数f(x)的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），且它们的图象关于y轴对称，写出一个满足条件的幂函数f(x)。3.已知幂函数f(x)的图象经过（2

5、，），试求出这个函数的解析式。解：设4.研究函数f(x)=的定义域、奇偶性、单调性、值域。解：。215．已知函数，（1）试求函数f(x)的零点；（2）求证：函数在上是增函数；（3）是否存在自然数n，使得f(n)=1000?,若存在，求出满足条件的n；若不存在，请说明理由。解：（1）令。（2）对于任意的，21（3）假设存在自然数n，使得，如果有根，则只有一根，否则与函数在矛盾，又内，因此不存在自然数n使得，g(n)=0成立，即不存在自然数n，使得f(n)=1000.4.1幂函数（3）函数图象的变化例

6、1.已知f(x)=，g(x)=和h(x)=。（1）说明这三个函数图象间的关系；（2）在同一坐标系中作出y=f(x)、y=g(x)、y=h(x)的图象；（3）由图象判断h(x)=的奇偶性、单调性。由上例，请总结函数图象的变化规律：21一般地，如果函数y=f(x)的图象为Ω，a>0，b>0，那么同一直角坐标系中，函数y=f(x+a)的图象是将Ω向左平移a个单位而得到的；函数y=f(x-a)的图象是将Ω向右平移a个单位而得到的；函数y=f(x)+b的图象是将Ω向上平移b个单位而得的；函数y=f(x)-b

7、的图象是将Ω向下平移b个单位面得到的。即“左加右减、上加下减”。例2.已知函数f(x)=x3+x。（1）试求函数y=f(x)的零点，并作出图象；（2）是否存在自然数n，使f(n)=1000，若存在，求出n，若不存在说明理由。例3.作出函数y=的大致图象并写出其单调区间。解：例4.画出函数y=的图象，写出单调区间、并比较f(-π)21与f(-)的大小。解：在课堂练习：1.在同一坐标系中作出函数y=+3，y=，x∈(-∞，+∞)的图象。2.作出函数y=的大致图象，并写出它的单调区间。解：3.作出函数y

8、=的大致图象，并写出它的单调区间、最大值、最小值。4.作出下列函数的图象简图，并指出其单调区间。（1）y=；（2）y=1+21回家作业：1.作出函数y=的大致图象。解：令x=0或x=-1.当；当当x>0时，2.函数是否存在正数a，使得函数f(x)在上单调递减，且f(x)不恒为负？若存在找出一个满足条件的a；若不存在，说明理由。解：对任意的，则，又f(x)不恒为负，即.213.若函数f(x)=(x∈A)的值域是(-∞，0]∪[4，+∞），求A。解：令f(x)=0得：。4.2指数函数的