有理曲线的多项式逼近

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1、第13卷A辑高校应用数学学报Vol113Ser.A1998年增刊Appl.Math.—JCUSuppl.1998有理曲线的多项式逼近陈效群　陈发来　陈长松(中国科学技术大学数学系)摘　要利用曲线摄动的思想给出了用多项式曲线逼近有理曲线的一种新方法.其基本步骤是对有理曲线的控制顶点进行摄动,使之产生一多项式曲线,并使摄动误差在某种范数意义之下达到最小.同时,通过适当控制摄动曲线的顶点,使逼近多项式曲线与有理曲线在两端点保持一定的连续性.这一结果可以与细分(subdivision)技术结合给出有理曲线的整体光滑的分片多项式逼近.实例表明,在某些情况下本文中的方法要优于传统的He

2、rmite插值方法及T.W.Sederberg和M.Kakimoto(1991)提出的杂交曲线逼近算法.关键词　有理曲线,多项式曲线,杂交曲线,逼近,细分,Hermite插值.分类号　(中图)TP391172;(1991MR)41A10,68U07.§1　引　言有理曲线和曲面作为一类重要的逼近函数,在计算机辅助设计(CAD)及几何造型中有着广泛的应用.尤其是随着NURBS被确定为国际标准后,更加奠定了有理曲线在CAD中的主导地位.然而,有时由于计算的复杂性和设计的需要,我们还需要对有理曲线进行多项式逼近.利用多项式逼近有理式的传统方法是Hermite插值.这种方法在两端点的

3、逼近效果很[1]好,然而整体逼近效果往往较差.1991年,Sederberg等人提出了一种杂交曲线(hybridcurve),并由此构造了有理曲线的一种多项式逼近.杂交曲线逼近方法与传统的Hermite插[2]值方法有着紧密的联系,其逼近性态与Hermite方法较接近,且收敛性难于保证.本文1997年11月3日收到.国家自然科学基金(19771076)、教委博士点基金及教委与科学院留学回国人员科研启动基金资助.©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.24高校应用数学学报第13卷A辑本文提出

4、一种新的逼近有理曲线的方法.其基本思想是,对有理曲线做一有理摄动使之成为一多项式曲线,并且使摄动有理式在某种模下达到最小.则摄动后的多项式曲线给出了有理曲线的一种逼近方案.由于采用恰当的范数,该方法可以对摄动曲线赋予较多的限制,从而可使逼近多项式在其端点对有理曲线做L(L=0,1,⋯)阶插值.这样,通过与细分(sub2division)技术结合可以得到有理曲线的分片多项式,整体具有一定连续性的逼近.本文以下各节安排如下.首先,在§2给出多项式逼近有理曲线的方法.§3进一步给出端点保插值的多项式逼近方案.§4对逼近误差做了简要的分析.最后,§5给出了几个实例,并与Hermit

5、e插值方法及杂交曲线逼近方法进行了比较.结果表明,本文中的算法要优于前述两种方法.§2　逼近的建立给定n次有理曲线nyny6i=0RiXiBi(t)R(t)=n,0≤t≤1.(1)n6i=0XiBi(t)nnin-iy其中Bi(t)=t(1-t)为Bernstein基函数,Ri=(xi,yi),i=0,1,⋯,n为控制顶点,Xi,ii=0,1,⋯,n为权因子.y对R(t)做有理摄动m+njm+nm+njm+nj6i=0X′iEiBi(t)6i=0X′EiBi(t)E(t)=n=m+n,0≤t≤1,(2)nm+n6i=0XiBi(t)6i=0X′iBi(t)其中1mnX′i=

6、6Xk,(3)m+nj+k=ijkiyj使得R(t)+E(t)正好为一个m次多项式曲线,即myjymR(t)+E(t)≡6PiBi(t),(4)i=0j目标是使得úE(t)ú尽可能地小.本文中我们选取m+nj2j2úE(t)ú=6Ei(5)i=0作为优化目标函数.由(4)有nm+nmnynjm+nymn6RiXiBi(t)+6X′iEiBi(t)=6PiBi(t)6XiBi(t).(6)i=0i=0i=0i=0利用升阶公式把上式两边均写成m+n次Bézier曲线有ymnm+n6j+k=iXkRkm+njkm+njm+n6Bi(t)+6X′iEiBi(t)i=0m+ni=0i

7、©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.增刊陈效群等:有理曲线的多项式逼近25ymnm+n6j+k=iPjXkjkm+n=6Bi(t).i=0m+nim+n比较上式两边Bi(t)的系数得:yymn6j+k=iXk(Pj-Rk)jjkEi=,i=0,1,⋯,m+n.(7)mn6j+k=iXkjk记m+nyyyj2yyyf(P0,P1,⋯,Pm)=6Ei(P0,P1,⋯,Pi),(8)i=0yy则我们的目标变为,求P0,⋯,Pm使得f