高考数学题型全归纳第五章平面向量第1节

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1、第五章平面向量第一节向量的线性运算✎考纲解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念及两个向量相等的含义及向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义；3.了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条件.✎知识点精讲一、向量的基本概念1.向量定义既有大小又有方向的量叫向量，一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中为起点，为终点）.2.向量的大小（模）向量的大小，也就是向量的长度，记作或

2、.3.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量零向量：长度为零的向量，记为，其方向是任意的.单位向量：模（长度）为个单位的向量.当时，显然向量是与向量共线（平行）的单位向量.相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量也叫共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到一条直线上.规定零向量与任何向量平行（共线）即.二、向量的线性运算1.向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法.已知向量，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和（或和向量），即.向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法

3、则和平行四边形法则.如图5-1所示，向量.图5-12.向量的减法（1）相反向量与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.①规定：零向量的相反向量仍是零向量；②；③，即互为相反向量的和是零向量，④若，互为相反向量，则，，.（2）向量的减法向量与的相反向量之和，叫做向量与的差，即.向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图5-2所示，，，则向量.3.向量的数乘图5-2（1）实数与向量的积是一个向量，记为，其长度与方向规定如下：①；②当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，；当时，.（2）向量数乘运算的运算律.设为实数，则；；三、重要定理和性质1.共线向量基本

4、定理如果，则；反之，如果，则一定存在唯一的实数，使.（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.2.平面向量基本定理如果和是同一平面内的两个非零不共线向量，那么对于平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为.叫做向量关于基底的分解式.3.线段定比分点的向量表达式如图5-3所示，在中，若点是边上的点，且则向量.在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，应熟练掌握.4.三点共线定理图5-3平面内三点，，共线的充要条件是：存在实数，，使，其中，为平面内任一点.此定理在向量问题中

5、经常用到，应熟练掌握.，，三点共线存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在，使得.5.中线向量定理如图5-4所示，在中，若点是边的中点，则中线向量.✎题型归纳及思路提示题型71共线向量的基本概念【例5.1】（1）有向线段就是向量，向量就是有向线段；（2）向量与向量共线，则四点共线；（3）如果，，那么.以上命题中正确的个数是（）.A.B.C.D.【分析】联系向量的基本概念，注意特殊向量零向量，注意考查判断.【解析】（1）不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不一定是有向线段；（2）不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行（3）不正确，当时，则

6、与不一定共线.所以（1）（2）（3）均不正确.故选D.【评注】本题易忽视零向量这一特殊向量，认为（3）是正确的.题型72共线向量基本定理及应用【例5.2】平面向量，共线的充要条件是（）.A.，方向相同B.，两向量中至少有一个为零向量C.，D.存在不全为零的实数，，【解析】选项A中，时，与既可同向，又可反向，故A项不一定成立；选项B中，若，有一个为，一定有与共线，但是与共线时，与可能都不为，故B项不一定成立；选项C中，若，时，，但不存在使，故C项不一定成立；选项D中，①时，，②时，，故D项成立.故选D.题型73平面向量的线性表示【例5.4】设是所在平面内的一点，，则（）.A.B

7、.C.D.【解析】如图5-5所示，，故为的中点，因此.故选B.【例5.7】如图5-12所示，在平行四边形中，，分别是，的中点，与交于点，设，，则等于（）.A.B.C.D.图5-12【分析】本题主要考查向量的线性表示，可以利用三点共线定理相关知识求解.【解析】因为，，三点共线，故，又因为与共线，则存在实数，使，所以，故.解法二：特殊化思想.如图5-13所示，，，联立，得，.故选B.【例5.9】已知向量，不共线，实数满足，则的值等于.【解析】由平面向量基本定理可知，故.题型75向量与三角形的四心【例5.13