固定收益证券3_久期和凸性

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1、久期和凸性上次内容•债券定价剩余息票支付次数为整数剩余息票支付次数不为整数应付利息零息债券•收益率的测量•价格和收益率的关系本次主要内容•债券价格风险的测量•一个基点的价格值（pricevalueofabasispointorPVBP）•久期（Macaulayduration）•修正久期(modifiedduration)•凸性简介•债券的价格风险（或者等价的称为利率风险）指的是由于市场中利率的变化所引起的价格的变化。PVBPorDV01•DV01(PVBP)测量的是当收益率变化一个基点（0.01%）时债券价格的变化。•假设P为债券的价格，y为债券的收益率，一阶导数dP/dy测

2、量了当收益率变化时价格的变化。PVBPorDV01•例子：•某债券还有一年到期，半年付息，年息票率为8%，面值为$100,到期收益率为6%，如何计算其PVBP？•首先计算债券的价格P为：4104P0.060.062(1)(1)22PVBPorDV01•如果收益率上升了一个基点，6.01%，那么债券的价格为：4104P101.9037640.06010.06012(1)(1)22•当面值为1百万美元时，价格的变动为：PP(101.91347101.903764)1000097.053PVBPorDV01•更精确的估计，让收益率在6%的基础上各增加和减少0.

3、5个基点。•当收益率下降0.005%时，价格为：4104P101.918320.059950.059952(1)(1)22•当收益率上升0.005%时，价格为：4104P101.908620.060050.060052(1)(1)22•因此如果面值为1百万美元，则其PVBP为：PP(101.91832101.90862)1000097.05992PVBPorDV01•PVBP的值越大，说明债权的利率风险越大。•第二种方法算的PVBP较第一种方法算的大，这是由于价格收益率曲线的凸性决定的。•缺陷：在计算PVBP的过程中，需要多次计算债券在不同收益率下的价

4、格，计算任务较重。久期（Duration）•久期是另外一个较常用的测量风险的工具•久期克服了需要重复计算价格的缺陷•债券价格公式：CC100CP1y(1y)2(1y)N•将价格对收益率直接求导来测量价格对收益率的变动•一阶导数即切线斜率久期（duration）•对y求导：dP(1)C(2)C(N)C(N)10023N1N1dy(1y)(1y)(1y)(1y)11C2CNCN100[]2NN1y1y(1y)(1y)(1y)•两侧同时除以P得：•dP111C2CNCN1001[]2NNdyP1y1y

5、(1y)(1y)(1y)P久期（duration）•在此基础上稍微变形得到:dP/P1C2CNCN1001D[]2NNdy/(1y)1y(1y)(1y)(1y)P•此即麦考利久期D（MacaulayDuration）的公式•负号是为了保证D为整数，因为价格和收益之间是负相关的。久期（Duration）•对麦考利久期的解释：•1，价格弹性（priceelasticity）：表示了收益率的百分比变化带来的价格的百分比变化dP1D(1y)dyPdP/P(1y)dydP/Pdy/(1y)%inbondprice%inbondyield

6、•久期越大，风险越大。久期（Duration）•2，久期是以贴现现金流为权重的时间除以债券价格•从这个意义上说，久期以贴现的方法度量了证券还原原始投资所花的平均时间；久期越长，风险越长。久期（Duration）•例：一个债券还有3年到期，其息票率为5%，收益率为5%，则其久期？•息票率等于收益率，因此债券的价格等于其面值100；•计算3年的折现因子分别为：1231.050.952381,1.050.907029,1.050.863838•因此其麦考利久期为：150.952381250.90702931050.863838D1002.859久期（Durat

7、ion）•对于3年的零息债券，如果其息票率仍为5%，则其久期？•首先其价格为100*0.863838•久期为31000.863838D3.001000.863838•对于零息债券来说，其麦考利久期等于其到期期限。久期（Duration）•麦考利久期测量了利率的百分比变化所引起的价格的百分比变化，为使其更直观，修正久期MD（modifiedduration）对此进行了修正。•修正久期是指收益率的变化引起的价格的百分比变化。dP/PMD