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《微元控制体分析法推导N-S方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、推导一推理依据：牛顿第二定律ma=F分析方法：微元控制体分析法推导思路：(1)找出微团受到的力，即质量力和表面力,写出运动方程；(2)根据应力与应变的关系将应力进行转化，得到可压缩粘性流体Navier-Stokes方程和不可压缩流体N-S方程。推导过程：1.受力分析及运动方程x方向上的体积力分量及各面上的应力如图1所示，有六个表面力分量及一个体积力分量。x方向体积力：大小与体积成正比，当微元体很小时可认为整个微元体中体积力密度f相同，即单位体积中的体积力均为ρf，则x方向体积力为ρfxdxdydz。各面上x方向的表面应力：切应力分量：pyx，pyx+∂py
2、x∂ydy，pzx，pzx+∂pzx∂zdz正应力分量：pxx,pxx+∂pxx∂xdx应力分量的变化量可由多元函数Taylor级数展开式取一阶小量的方法获得，如下：由fx1+Δx1,x2+Δx2,⋯,xn+Δxn=i=0∞1i!Δx1∂∂x1+Δx2∂∂x2+⋯Δxn∂∂xnifx1,x2,⋯xn得px+∆x,y+∆y,z+∆z=px,y,z+(∂p∂xdx+∂p∂ydy+∂p∂zdz)则x方向表面力为：∂pxx∂xdx∙dydz+∂pyx∂ydy∙dxdz+∂pzx∂zdz∙dxdy微团运动加速度为在x方向的分量为：∆max=ρdxdydzDuDt根据
3、牛顿运动定律ma=F，在x方向整理，得ρdxdydzDuDt=ρfxdxdydz+（∂pxx∂x+∂pyx∂y+∂pzx∂z）dzdxdy即ρDuDt=ρfx+∂pxx∂x+∂pyx∂y+∂pzx∂z(1)同理可得y、z方向上ρDuDt=ρfy+∂pxy∂x+∂pyy∂y+∂pzy∂zρDuDt=ρfx+∂pxz∂x+∂pyz∂y+∂pzz∂z写为笛卡尔张量形式，可得直角坐标系中微分形式的运动方程ρDuiDt=ρfi+∂pij∂xi(i=1,2,3)(2)【注：指标表示法，求和约定】由于px=pxxi+pxyj+pxzk，py=pyxi+pyyj+pyzk
4、，pz=pzxi+pzyj+pzzk，∇∙P=∂∂xPx+∂∂yPy+∂∂zPz【注：上式中px表示作用面的法线方向为x方向的应力和。是否可将应力张量表示为P=pxxpxypxzpyxpyypyzpzxpzypzz=pxi+pyj+pzk，则px为x方向上的应力分量和。】因此，(1)式可写为与坐标系无关的矢量表达ρDDtV=ρf+∇∙P(3)【疑问：(a)张量表示；(b)变形分析，增量】2.推导粘性流体的N-S方程(1)粘性流体的本构方程【注：流体力学中本构方程专指应力张量P与应变率张量E之间的关系式。百度：通常把应力和应变率，或应力张量与应变张量之间的函
5、数关系称为本构方程。】当流体作一维平行剪切流动时，存在牛顿粘性定律：τ=μdudy，根据应力张量P=pxxpxypxzpyxpyypyzpzxpzypzz和应变率张量E=εxxεxyεxzεyxεyyεyzεzxεzyεzz分量的表达方式，令τ=pyx，由εyx=12(∂u∂y+∂v∂x)，一维流∂v∂x=0可得pyx=2μεyx(4)【注：Stokes假设：(i)应力张量与应变率张量成线性关系，即应力与变形速度之间成线性关系；(ii)这种线性关系在流体中是各向同性的（不因方向不同而有所变化）；(iii)当流体静止时，应变率为零，流体中的应力就是各向等值的
6、静压强。】根据Stokes假设(i)和(ii),牛顿流体的本构关系可写为：P=aE+bI(5)其中I=100010001为二阶单位张量，a、b为标量，与运动状态和坐标系无关。对照(4)式可得a=2μ，则(5)式中三个对角线上的分量可写为pxx=2μ∂u∂x+b,pyy=2μ∂v∂y+b,pzz=2μ∂w∂z+b即pxx+pyy+pzz=2μ∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z+3b=2μ∇∙V+3b(6)【根据应力张量和应变率张量的性质，上式说明b是由应力张量和应变率张量中线性的第一不变量所组成】由(6)式得b=13pxx+pyy+pzz-23μ∇∙V(7)根据S
7、tokes假设(iii)，当流体静止时，流体中只有正应力，且其值为各向等值的静水压强，因此可将三个正应力之和记为-13pxx+pyy+pzz=p(8)【注：“-”解释——静水压强方向恒垂直指向作用面，即与作用面内法线方向一致，正应力以拉应力为正，方向与外法线方向一致。】将(8)式代入(7)式，得b=-p-23μ∇∙V(9)将(9)式代入(5)式，可得P=2μE-p+23μ∇∙VI=-pI+2μE-23μ∇∙VI(10)在直接坐标系中，正应力与应变的关系为pxx=-p+2μ∂u∂x-23μ∇∙Vpyy=-p+2μ∂v∂y-23μ∇∙V(11)pzz=-p+2
8、μ∂w∂z-23μ∇∙V切应力与应变的关系为pxy=pyx=μ(∂
