多元函数微分学性质及应用

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齐齐哈尔大学毕业设计（论文）齐　齐　哈　尔　大　学毕业（设计）论文题目多元函数微分学的性质及应用学院理学院专业班级数学与应用数学专业103班学生姓名刘昕昕指导教师李晓红成绩2014年6月12日1 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）摘要多元函数微分学在数学史上有着十分重要的意义,是高等数学的基础理论.多元函数微分学是为了解决微分学在多元函数中的体现,后来在多元函数、几何、物理等方面也被广泛应用，在这个过程中多元函数微分学得到了更多的学者关注与探讨，在数学史上占有重要的地位.本文从多元函数微分学的的性质和应用两个方面对多元函数微分学进行论述，在多元函数微分学的相关理论和预备知识辅助基础上，结合几何问题中一些典型的问题，通过具体实例，给出了多元函数领域上的应用，对于多元函数微分学应用方面，利用求解几何问题、极值问题、和全微分近似等问题，并通过具体例子，利用不同方法进行对比，突出多元函数的灵活性，进一步体现了多元函数微分学的重要性。关键词:多元函数微分学;性质;应用1 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）AbstractMulti-functiondifferentialcalculusinthehistoryofmathematicshasaveryimportantsignificance，Isthebasictheoryofhighermathematics.Multivariatefunctiondifferentialcalculustosolvedifferentialcalculusisreflectedinthemulti-function,Laterinthemulti-function,geometry,physicsandotheraspectsarealsowidelyusedintheprocessofmulti-functiondifferentialcalculusgotmoreattentionanddiscussionofscholarsinthehistoryofmathematicsplaysanimportantrole.Fromthenatureandapplicationofmulti-functiondifferentialcalculusontwoaspectsarediscussedDifferentialdiversefunctionsinthetheoryofdifferentialcalculusandmulti-functionauxiliary,basedonpriorknowledge,combinedwithgeometricproblemsinsometypicalproblems,throughspecificexamples,multivariatefunctionisgivenonthefield,formulti-functiondifferentiallearningapplications,bysolvinggeometryproblems,extremeproblems,andtotaldifferentialapproximationandotherissues,andthroughspecificexamples,usingdifferentmethodswerecompared,highlightingtheflexiblemulti-function,andfurtherdemonstratestheimportanceofmulti-functiondifferentialcalculus.Keywords:multi-functiondifferentialcalculus;characteristical;application1 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）目录不要删除行尾的分节符，此行不会被打印1齐齐哈尔大学毕业设计（论文）目录 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）摘要IAbstractII绪论1第1章多元函数微分学的基本概念及性质21.1多元函数微分学基本概念21.2多元函数微分学极限与连续第2章多元函数微分学性质及性态关系102.1多元函数的性质292.1.1多元函数的连续性292.1.2多元函数的可微性292．2偏导连续可微之间的性态关系292.2.1偏导与连续的关系102.2.2偏导与可微之间的关系122.2.3连续与可微之间关系152.3性态关系图15第3章多元函数微分学的应用193.1偏导数在几何领域上应用223.1.1空间曲线的切线与法平面223.1.2曲线的切平面与法线223.2多元函数极值应用243.3全微分在近似计算中应用29结论29参考文献30致谢31 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）绪论多元函数微分学是将微分学的内容在多元函数中的体现,是高等数学中一个重要的理论基础，它是将一元函数的微积分学的多数的概念及定推广到多元函数上来，进而可以得到更好的的发展。后来在几何、物理等方面也被广泛的应用。多元函数微分学的知识能够将代数、几何融为一体，从而更好地解决空间上的曲线、曲面等问题，在数学分析中多元函数的性质、定理是基本的理论，为后面学习的知识打下坚实的基础。多元函分学搭建了多元函数和微分学之间的关联，使用微分形式来解多元函数的有关问题，为解决问题带来了便力，可以使一些抽象的问题转化为微分形式求解，得到简便的做题方法。所以研究微分学的多元函数是一个非常重要的题。在近代数学发展的历史上微积分的发展是一条主线，在17世纪上半叶，法国笛卡儿、费马、帕斯卡以及英国的沃利斯都研究过切线问题以及最大值和最小值问题等，古希腊著名科学家阿基米德讨论曲线切线问题，并由导数推广到偏导数，将函数的变量由一个推广到个，微分问题不在是一个一个处理，而是有了统一的处理方法，它的运用范围超出了最初的预想，应用也更为广泛。随着科学技术的发展，多元函数微分学得到了更多的学者的关注和探讨，2014年3月25日，景惠丽、赵伟舟等在兰州文理学院报上发表了《多元函数微分学概念之间的关系及反例》主要的探讨了连续的、可微的、偏导存在了、偏导连续等相关概念间的相互关联，对这些概念的关系进行了梳理，并给出相应的反例证明，2013年9月23日，陈贞忠在河南新乡学院报上发表了《反例在多元函数中的应用》主要是通过主要是通过可导、连续、可微概念之间的性态关系进行举例讨论，2012年9月5日，张宏达在北京交通管理干部学院学报上发表了《多元函数微分学的概念探究》主要的介绍了多元函数微分学的概念，以及各个概念之间的关联，用多种方案讲解各个方法之间的关系和学习多元函数微分学，对微分学在多元函数学习中有很大的益处。在此背景下，本文结合典型的例题讨论了多元函数微分学的性质及应用。总结了多元函数微分学在生活中如何解决实际问题，使多元函数微分学在实际生活问题中对人们有了更深一层的认识。-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）第一章多元函数微分学基本的概念及性质1.1多元函数微分学相关的概念1.1.1多元函数的相关概念一元函数是建立在一维空间上的，它的多数定理及概念都能推广到多元函数，并且有些定理和概念可以得到进一步的发展，即使一元函数的微分学与多元函数的微分学有许多的共同点，然而两者之间也会有许多不同的方面，多元函数建立在维空间，这些不同的地方也是由“多元”特殊性产生。定义1.1设在非空的点集，映射称为在定义域上的元函数，记为：或，。点集即为函数的定义域；称元函数的值域为数集当，有了二元函数[1]，当，有了三元函数，当时，称为多元函数。定义1.2在点内,设二元函数在范围有定义,若(常数)，并且一元函数在处可以求导,即它的极限为,存在,所以称这个极限是函数在点处关于的偏导数,记:,或,相似的,和有关的偏导数,记-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）,或,例1.1设,求,,.解:根据复合函数求导法则同理因为二元函数关于它的两个偏导数,仍然是和的二元函数,如果存在偏导数关于与的即,,,称之为二阶偏导.其中记为,记为称之为混合偏导.像上面那样以此类推的方法很容易就可以得到三阶导数、四阶导数，阶导数，二阶及二阶以上的导数称为高阶偏导数.高阶偏导解法:-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）例1.1求函数的二阶的偏导数.解:混合的高阶的偏导数与它的求导顺序没有任何关系,要满足的条件是下面这个定理；定理1.1若二元函数是存在二阶的混合的偏导数和，并且在点处的某一个邻域G内,而且在点连续，所以有=证明依照偏导数的一、二阶的定义我们有设从而同样有-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）得证定义1.3（方向倒数）如果三元函数沿射线L:，，其中改变量与的比值，当时它的极限为是存在的，就称为这个极限是在点处函数的方向倒数，记作，或，即注1设，，，知道（因）注2设，则与同向。1.2多元函数的极限与连续为研究多元函数连续与极限，在一元函数连续与极限的理论基础上，将R维空间推广到n维空间上来，尽管多元微分学中许多基本概念是从一元微分学的基础上建立起来的，但也产生了许多本质上特殊的东西，不过从二元到三元以上则是自然的推广，因此本章以二元函数为主。本节的主要内容是了二元函数极限，连续概念以及用他们来讨论多元函数的连续喝极限。由一元函数的极限定义，我们可以推广到二元函数的极限定义，对于二元函数=来说，把看成平面上的点，利用平面上的点距离来取代绝对值，当接近于时，以数L为极限指的是，必，使当时，有则记为这里是指既而推出-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文），，反之若，，式子仍然成立。所以和上述极限等价定义叙述为，，使，，在上面的算式中最少有一个算式的左面是不等于零的，所以有，可以写为下面是一元到二元扩广的明显例子例1.3已知，试证=0证，根据定义当，便有，即根据等价的定义来解下面明显例题例1.4已知，试证证-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文），令，找出，使当，时，有二元函数的极限也可以与一元函数的极限联系起来，除了二重极限，对于二元函数来说，由于它的变化区域为平面，变量有两个，因此，可以在极限中把两个自变量暂时固定一个，则把，从二元函数的极限转换为一元的函数极限，，这样还是的函数，，接着在对的函数取的极限，也可以先固定，令取极限像上面这样两个极限,先求出一个极限再求另一个极限,称做二次函数累次极限，累次极限和二次极限之间是有联系的，累次极限的两个是相等的并且存在的，可是二重极限就可能不是存在的，如，，在极限不存在，但=存在且相等。即使二重极限存在，但函数的两个累次的极限也可以是都不存在的，如而与都不存在只有当函数在点满足累次极限和二重极限并且他们都存在时，所以有-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）定义1.4假设元函数在点的某个邻域内有定义，并且则称n元函数在连续。如果在函数的定义域内，全部的初等函数都是连续的。第2章多元函数微分学性质及概念间的性态关系2.1多元函数微分学的性质2.1.1多元函数的连续性关于多元函数的连续性，上章节里我们了解定义外，多元函数还具有很多性质，具有性质如下，定理2.1如果两个二元函数在相同点都连续，那么这两个二元函数的和，差，积，商都在连续，商的时候分母不为零。定理2.2如果二元函数和在点是连续的，并且二元函数在点是连续的，则复合函数在点是连续的证已知在点连续，即，，与，有又知函数与在连续，即，，与，同时有与于是与有得证定理2.3若二元函数在定点上有，而且还有-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）是连续的，则会有，，使>0.证已知在点点连续，即，，或有，有即得证定理2.4若二元函数在闭区域连续，并且在上有界，故函数在D上是有界，即,,有证知到函数在连续，且是有界的，并且由连续定义，，，,有或，即函数在有界，开区域集合由有界的区域D覆盖，则开区域集中存在有限的开区域同样也覆盖了闭区域D，并且对于，有，令，于是，存在某个使，有定理2.5若二元函数在有界区域连续，则二元函数在D取到最值，和，即，，使，且，有证这里只讨论最大值的证明函数在D有界，设，只需证明，使。用反证法假设，有，故函数在D连续，且，-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）于是函数在D也连续，故，有或即与M不是矛盾，故必，使。定理2.6若二元函数)在有界闭区域连续，且函数的最大值最小值是和，是与间的任意一个数，则有证闭区域上存在与两点使，若,则（或），即或，成立若，则分以下三种1）假设和是内点，根据区域的定义可以知道，与可用一条折线连接起来，设参数方程关于折线的，，且函数在上连续，且则至少存在一个，，使，令，则有有2）假设与只有一个是上的边界点，设是上的的边界点，且，由保号性定义，使，于是、都是的内点，，有。3）若与都是的边界点，也可以用2）证明得到。2.1.2多元函数的可微性-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）定义2.1（全微分）在点处二元函数的全部增量可表示为其中A、B只和、有关系，和、没有关系，则称函数可微在点处，函数在点的全微分为，记作即函数在这个区域D内是可微，就可以说明在区域内都是可微的。定理2.7（可微的必要条件）若在可微，则在存在两个偏导数，且全微分式子中与分别为与证已知在可微，即，当时，有用先除上式等式左右两端再取关于的极限，有同法可证得定理2.8（充分条件之可微）在存在两个偏导在邻域内，偏导都连续在点两个，故在点上是可微。证，将改写为其中，已知偏导数在连续，有-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文），，，从而有而（）或，于是，即函数在处可微。2.2偏导、连续、可微之间的性态关系多元函数微分学保留了一元函数微分学许多性质，因为变量的增加产生了一些新的内容，比如说在一元函数中函数在某点可微，在这点也可导，反之也成立。又比如说函数假设在某一点是可导的，那么是连续的在这点。可对于多元函数来说，性质上是有些不同的,本节讨论一下多元函数的可微性、偏导性、连续性关系。2.2.1偏导与连续的关系根据多元函数的特点，函数在一点存在偏导数话，是不能确定它在这点的连续性的，比如说例2.1：z==解很明显点沿轴来趋向点时，有点沿直线趋向时有因为1所以在点不连续，但=-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）例2.2如在点是可以可微的.证很容易得到有所以我们得到了所以在点是可以微的,而在却是不连续的间断的.可见在点时，可导即偏导不存在。而在点函数不可连续。由例题分析可知，而在点函数可连续，而偏导数不可存在。例2.3=+在点处连续，而函数在点偏导数不可存在。解由于故在点处连续。由知不存在同理也不存在小结：这两个子讲述多元数中，函数在处连性不再是这点偏导存在必要件，连续是沿这的所有方的极限都于这点的函值，对于二元数偏导仅仅是沿标方向的存在。无论函数还是二元连续是推不出的。2.2.2偏导与可微的关系函数z=在，那函数z=在点比存在。-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）例2.4在点处偏数存在函数在不可微。证明由偏导数定义的=0及=0下面函数在点微=如果考虑沿直线趋于点，则===这表明并不是一个比较高级无穷小，因此在不可微，这说明两个偏导存在不一定可微。2.2.3连续与可微的关系函数在一连续而在改不可微因为当把变量y固定成后，此时的z=变成它是x的一元函数，在一元函数中连续不一定可导。故视以z=对x也可以没导数。从而z=。在处可以没有对x的偏导。故在点不可微。函数在一点可微则函数在这点连续证明因函在点可微，由全分概念则因此函数在点连续。通常来说，要想检验一个函数在某点是否可微的，就要先看它的连续性，如果函数是连续的，而且在看在它的定义域内可不可以求导，如果不可以求导那么一定是不可微。若在点处连续，并且可导，在观察偏导数是否是连续的。2.3性态关系图-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）上小节讨论了偏导数，连续可微之间的关系，为了方便读者很快的了解他们之间的关系，将它们的关系用图标的形式给出，下图就是偏导、连续、可微之间的性态关系-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）第3章多元函数微分学的应用3.1偏导数在几何上的应用3.1.1空间曲线的切线与法平面定义（切线、法平面）有两种解题方法设空间曲线的参量式方程为令，可得到L上的点，则曲线在这个点的切线与在这个点的法平面方程分别为，法平面方程设空间曲线L的一般方程为记为则曲线在处的切线与在这点处的切线与在这点处的法平面方程分别是切线方程法平面方程例3.1求螺旋线：，在时，的法平面方程与切线方程解法一由于-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）当时，对应曲线上的点为，所以曲线在处的切线方程为当时，法平面方程为即法二设空间曲线的方程为可取x为参数，得到参数方程，若、在处都可导，则曲线在对应点处的切线方程为向量是曲线在点处的切向量，曲线在点处法平面方程为法三设空间曲线由方程组-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）给出，是曲线上的一点，如果、都有连续偏导数，且在点的某个邻域内确定了一组唯一的有一组连续导数的隐函数，，而且在处，导数，存在由恒等式两边对求导得到把代入，由条件方程组可解出或其中下标表示行列式在点的值，在点处的一个切向量是，乘以得到曲线在点处另外一个切向量因此曲线在点处的切线方程曲线在点处的法平面方程-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）若而，中至少有一个不等于0，是可以得到相同的结果的。例3.2求球面与锥面的相交线在点处的法平面与切线的方程。解将上面两个方程分别对求导，得把点代入方程组中得解得，所以点处曲线的切向量为或因此，曲线在点处的切线方程在点处法平面方程即-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）例3.3求在时对应的点的切线方程和法平面方程解对求导得到，，对应的点故切线方程对应点的法平面方程即3.1.2曲面的切平面与法线1.设曲线S是显示方程给出，则在处曲线的切平面和法线方程分别为2．设曲线S是隐式方程给出，则在处曲线的切平面和法线方程分别是例3.4求曲面，在点（3,1,1）的切平面方程与法线方程。解考虑函数-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文），，，，，故切平面方程为求法线方程为或例3.5求曲面，在点的切平面方程与法线方程。解曲线在点法矢故切线方程为法线方程为例3.6求椭圆的抛物面在点处的切平面与法线方程。解设，则，，，所以，，，故切平面的方程为。法线方程为-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）例3.7求球面，与锥面截出来的曲面上点的切线方程与法平面方程。解设，，则法失，，则，所以得到曲线在点的切线方程，，法平面方程为例3.8求曲线，在处的切线及法平面方程。解法一用参数方程求之，以x为参数，则而由得，；由，得，故切向量为即切线方程为法平面方程为解法二将曲线化为一般形式-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文），，，，则切线方程为同样的方法可以得到法平面方程。3.2多元函数的极值应用在工程技术中，科学研究中，经济活动分析以及经济管理等一些实际问题中，都提出大量的优化问题，这些优化问题都涉及到多元函数的极值问题和最值问题，本小节主要介绍极值以及举例利用利用偏导数计算多元函数的最大值、最小值。首先看一下例题中涉及到的知识点定义如果对点的某个去心的邻域内任何点恒有（或）则称是的一个极大（或极小）值。关于极值的必要条件是二元函数在内某个邻域内偏导数存在，达到了极值，则一定会有,二元函数关于极值的充分条件是在点的某个邻域内，有三阶连续的导数，且如是，，，那么当，，（求），是极大值点，当，，（求），是极小值点，当时，不是极值点。多元函数微分学极值的应用，除了定义求极值外，还有常用的求条件极值的方法，就是构造拉格朗日函数。定义：函数，在这个约束的条件下，取到极值的必要条件是满足-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）其中，为构造的拉格朗日函数。对于实际问题，根据问题本身的性质，在已知的函数在已知区域D内，能取到最大值和最小值，而且函数在D内驻点只有一个，就可以认为该驻点的函数值即为所要求的。例3.9抛物面为被平面为截成一个椭圆，求这个椭圆上的点与坐标原点的连线最长和最短的距离。解设为椭圆上任意的一点，它与原点的连线长为为求解方便，将转化为求解，在条件及下的极值。设令由式子（1）—式子（2）得到故有或将代入式（1），得到，故由（3）式知道，显然，当时，（4）式子不成立。故应舍去。将代入（4）式子，得到，再代入（5）中，得到故于是得到两个固定点由题知存在两个驻点，一个最近点和一个最远点。故点，点就是要求的点。-30- 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）例3.9计算得故，例经济学中有Cobb-Douglas生产的函数模型式子中y表示资本数（即y个单位的资本），x则表示劳动力的数量，C与a（0