.0 导数应用的题型与方法

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1、高中数学（02级实验班）第四轮复习讲义第8讲导数应用的题型与方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值二、考试要求⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。　　⑵熟记基本导数公式（c,x(m为有理数)，sinx,cosx,e,a,lnx,logx的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。　　

2、⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。三、复习目标　1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2．熟记基本导数公式（c,x(m为有理数)，sinx,cosx,e,a,lnx,logx的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)

3、值的问题，掌握导数的基本应用．　3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。　　4．了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。四、双基透视导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方

4、法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。4．曲线的切线　　在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如图3—1中的曲线C是我们熟知的正

5、弦曲线y=sinx．直线与曲线C有惟一公共点M，但我们不能说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．　　5．瞬时速度　　在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的

6、极限来定义瞬时速度．　　6．导数的定义　　导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．　　对导数的定义，我们应注意以下三点：　　(1)△x是自变量x在处的增量(或改变量)．　　(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数．　　(3)如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=

7、x

8、在点x=0处连续，但不可导．　　由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下

9、三个步骤进行：　　(1)求函数的增量；　　(2)求平均变化率；　　(3)取极限，得导数。　　7．导数的几何意义　　函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：　　(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；　　(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为　　　　特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为　　8．和（或差）的导数　　上一节我们学习了常见函数的导数公式，那么对于函数的导数，又如何

10、求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。