数学实验教程_实验21(特征值与特征向量的迭代性质)

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1、实验21特征值与特征向量的迭代性质-113-实验21线性动力系统的长期行为趋势预测设，特征值问题就是求及非零向量，使得在很多科学和工程问题中会遇到特征值和特征向量的计算，并且常常考虑关于它的长期行为。实验目的了解特征值、特征向量的迭代性质预备知识特征值与特征向量、矩阵向量乘法、收敛性实验内容试画出下述动态系统的若干轨道，观察其特征。1．；2．；3．；4．。原理设矩阵是可对角化的，其特征值为，且，对应的特征向量构成的一组基，任一初始向量可以唯一地表示为。的这个特征向量分解决定了由产生的序列的长期行为，因为。当为2阶方阵时，可以将方程看成映射重复作用在中的初始点时，对的变化的描述。

2、的图像称为动态系统的轨道（trajectory）。实验21特征值与特征向量的迭代性质-113-【步骤】：【Step1】：计算出迭代序列以及特征值和特征向量；【Step2】：绘制图形。【程序】：clear;clc;clf;A1=[0.80.5;-0.11.0];Xlims=norm(A1)*100;itdemo2D(A1,50,Xlims);调用子程序：functionitdemo2D(A,nums,XLims)%功能：演示迭代效果%注意：使用此程序时，矩阵A的特征值的模不能太大【输出图形】：见图21。实验21特征值与特征向量的迭代性质-113-图21（1）(0,0)是吸引子图2

3、1（3）(0,0)是排斥子图21（2）(0,0)是鞍点图21（4）(0,0)为螺线极点实验21特征值与特征向量的迭代性质-113-图21动态系统的长期行为【解释】：图21实验21特征值与特征向量的迭代性质-113-（1），由于方阵A具有两个实的特征值，且其绝对值小于1，因此，对于任意初始向量x0，均有；图21（2），由于方阵A具有两个实的特征值，一个绝对值大于1另一个小于1，当x0位于绝对值小于1的特征向量方向时收敛到零向量；否则发散；图21（3），由于方阵A具有两个实的特征值，且其绝对值均大于1，因此，对于任意非零初始向量x0，均有不收敛到任何有限向量；图21（4），由于方阵

4、A具有一对共轭复特征值，且其模小于1，因此，对于任意非零初始向量x0，均有环绕原点向内盘旋，最终趋向于原点。实验练习构造一种动物的状态―矩阵模型，这种动物有两个生命阶段：幼体（直到１岁）和成体。假设成体的雌性动物平均每年生育1.6只雌性幼崽。每年有30%的幼崽成活并成长为成体，有80%的成体能够存活下来。对于，令，其中中元素为第年幼体和成体的数量。（1）构造状态矩阵，使得对于；（2）证明该物种的数量在增长。求最终种群数量的增长率及幼体与成体的数量之比；（3）假设最初有15只幼体动物和10只成体动物。画出四个图形来显示在8年内种群的变化：1)幼体数量；2)成体数量；3）总数量；4

5、）幼体和成体数量之比，该比值何时稳定？