2.2 第3课时 命题的证明

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1、2.2命题与证明第2章三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学上（XJ）教学课件第3课时命题的证明1.了解证明的基本步骤和书写格式;（重点）2.掌握反证法证明的基本步骤和格式；（难点）3.掌握三角形外角和定理的证明，并能进行简单的运用.学习目标作业十八10月13日第58页12,3题，第59页6,7题家作:1、第60页第8,9题。2、预习第61--63页，做第63页第1,2,题，第66页第1,2，3，4,5题。3、做《教材解读》第39--42页。作业布置导入新课观察与思考问题：在一个三角形花坛的外围

2、走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？123实质就是求这个三角形的外角和.讲授新课从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得到360°.另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°.证明的一般步骤一此时猜测出的命题仅仅是一种猜

3、想，未必都是真命题.要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.证明的每一步都必须要有根据.证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.在分析出这一命题的条件和结论后，我们就可以按如下步骤进行：已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.想一想证明：如图，∵∠BAF=∠2+∠3，∴∠BAF+∠CBD

4、+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：第一步第二步第三步画出图形写出已知、求证写出证明的过程根据题意根据命题的条件和结论，结合图形通过分析，找出证明的途径总结归纳例1已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：∵∠DAC=∠B+∠

5、C（三角形外角定理），∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式的性质）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）.∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）典例精析例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.解析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”“有两个”“有三个”这三种情况.如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.反证法二证明：假设∠A，∠B，∠C中没有

6、一个角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.总结归纳当堂练习1.在括号内填上理由.已知：如

7、图，∠A+∠B=180°.求证：∠C+∠D=180°.证明：∵∠A+∠B=180°（已知），∴AD∥BC（）.∴∠C+∠D=180°（）.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补2.已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.证明：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（两直线平行,内错角相等）∠3+∠4=180°（两直线平行,同旁内角互补）.∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）3.已知：如图，AB与CD相交于点E.求证：∠A+∠C=∠B+∠D.证明：∵AB与CD

8、相交于点E，∴∠AEC=∠BED（对顶角相等），又∵∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形内角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.课堂小结命题的证明直接证明反证法反设结论推理导出矛盾（画图）写出已知、求证写出证明过程证得结论作业十八10月13日第58页12,3题，第59页6,7题家作:1、第60页第8,9题。2、预习第61--63页，做第63页第1,2,题