《常用概率分布》课件

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1、第五章常用概率分布二项分布二项分布的概念与特征一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球，我们进行摸球游戏:每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6。先后摸5次，摸到黄球次数为0、1、2、3、4和5的概率分别是多大？该实验有三个特点：一、是各次摸球是彼此独立的；二、是每次摸球只有二种可能的结果，黄球或白球；三、是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。具备这三点，n次中有X次摸到黄球（或白球）的概率分布就是二项分布。例5-1用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效，每一例有效的概

2、率为π。某医生用此方法治疗头痛患者5例，3例有效的概率是多少？因为每例有效的概率相同，且各例的治疗结果彼此独立，5例患者中可以是其中的任意3例有效。医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量来表示的，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死亡等等。如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的发生概率均为（1－）；而且各个观察对象的结果是相互独立的：那么，重复观察n个人，发生阳性结果的人数X的概率分布为二项分布，记作B（X；n，π）。二项分布的概率函数P(X)可用公式（5-1）来计算。例5-2临床

3、上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该法治疗3例，其中两例有效的概率是多大？表5-1治疗3例可能的有效例数及其概率有效人数(x)x(1－)n-x出现该结果概率P(x)010.60=10.4×0.4×0.40.064130.60.4×0.40.288230.6×0.60.40.432310.6×0.6×0.60.400.216由表5-1可知,各种可能结果出现的概率合计为1，即P(X)=1（X=0,1,…,n）。因此,如果欲求1例以上有效的概率可以是P(x≥1)=P(1)+P(2)+P

4、(3)=0.288+0.432+0.216=0.936也可以是P(x≥1)=1－P(0)=1－0.064=0.936二项分布的特征二项分布的图形特征接近0.5时，图形是对称的；图5-1离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称。图5-2当n→∞时，只要不太靠近0或1，当nP和n(1－P)都大于5时，二项分布近似于正态分布。二项分布图形取决于与n，高峰=n处二项分布图5-1π=0.5时,不同n值对应的二项分布二项分布图5-2π=0.3时,不同n值对应的二项分布二项分布的均数和

5、标准差总体均数：方差：标准差：如果将出现阳性结果的频率记为总体均数：标准差：例5-4研究者随机抽查某地150人，其中有10人感染了钩虫，钩虫感染率为6.7%，求此率的抽样误差。二项分布的应用（一）概率估计例5-5如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？从n=150，π=0.13的二项分布，由公式（5-1）和（5-2）可以得出150人中有10人感染钩虫的概率为（二）单侧累积概率计算二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为出现阳性的次数至少为k次的概率为例5

6、-6例5-5中某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地150人，其中至多有2名感染钩虫的概率有多大？至少有2名感染钩虫的概率有多大？至少有20名感染钩虫的概率有多大？根据公式（5-10）至多有2名感染钩虫的概率为至少有2名感染钩虫的概率为至少有20名感染钩虫的概率为研究非遗传性疾病的家族集聚性非遗传性疾病的家族集聚性(clusteringinfamilies)，系指该种疾病的发生在家族成员间是否有传染性？如果没有传染性，即该种疾病无家族集聚性，家族成员患病应是独立的。此时以家族为样本，在n个成员中，出

7、现X个成员患病的概率分布呈二项分布；否则，便不服从二项分布。例5-7某研究者为研究某种非遗传性疾病的家族集聚性，对一社区82户3口人的家庭进行了该种疾病患病情况调查，所得数据资料见表5-1中的第（1）、（2）栏。试分析其家族集聚性。表5-1患病数据资料与二项分布拟合优度的2c检验X（1）实际户数A（2）概率P(X)（3）理论户数T=82P(X)（4）AT-（5）2)(AT-（6）TAT2)(-（7）0260.1326510.8774-15.1226228.693621.02471100.38235

8、31.352521.3525455.927314.54202280.3673530.12292.12294.50690.14963180.117659.6472-8.352869.76907.2320合计82—82.0000——42.9483如果该社区的此种疾病存在家族集聚性，则以每户3口人的家庭为样本，在3个家庭成员中，出现X（=0，1，2，3）个成员患病的概率分布即不服从二项分布。为此，可作如下假设检验。H0：该疾病的发生无家族集聚性H1：该疾病的发生有家族集聚性=0.10本例