《投入产出平衡》PPT课件

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1、实验一投入产出平衡——矩阵和线性方程组一、国民经济投入产出综合平衡设有n个经济部门，xi为部门i的总产出，cij为部门j单位产品对部门i产品的消耗，di为外部对部门i的需求，fj为部门j新创造的价值。那么各经济部门总产出应满足下列关系式：消耗平衡方程组j=1,2,…,n令C=（cij），X=(x1,…,xn)',D=(d1,…,dn)’，F=(f1,…,fn)’则X=CX+D令A=E－C，E为单位矩阵，则AX=DC称为直接消耗矩阵，A称为列昂杰夫（Leontief）矩阵。分配平衡方程组i=1,2,…

2、,nY=[1,1,…,1]BY表示各部门的总投入，称为投入向量。新创造价值向量F=X–Y'B=CB表示各部门间的投入产出关系，称为投入产出矩阵。二、数学理论复习：线性代数1、线性方程组记为Ax=b其中A=(aij)m×nx=(x1,…,xn)’,b=(b1,…,bm)’若秩(A)秩(A,b)，则无解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)

3、组2、逆矩阵方阵A称为可逆的，如果存在方阵B，使AB=BA=E，记B=A-1方阵A可逆的充分必要条件:A0求逆矩阵方法：A-1=A*/

4、A

5、这里A*为A的伴随矩阵（AE）行变换（EA-1）3、特征值与特征向量对于方阵A，若存在数和非零向量x使Ax=x，则称为A的一个特征值，x为A的一个对应于特征值的特征向量。特征值计算归结为:特征多项式

6、A-E

7、=0的求根。对应于特征值的特征向量是齐次线性方程组(A-E)x=0的所有非零解三、使用MATLABdet方阵的行列式diag对角阵inv

8、方阵的逆cond方阵的条件数trace方阵的迹orth正交规范化rank矩阵的秩null求基础解系rref矩阵的行最简形eig特征值与特征向量jordan约当标准形分解norm矩阵或向量范数1、特殊矩阵生成zeros(m,n)生成m行n列的零矩阵;ones(m,n)生成m行n列的元素全为1的阵;eye(n)生成n阶单位矩阵;当A是矩阵,diag(A)返回A的对角线元素构成的向量;当X是向量,diag(X)返回由X的元素构成的对角矩阵；rand(m,n)生成m行n列[0,1]上均匀分布随机数矩阵；li

9、nspace(x1,x2,n)生成x1与x2间的n维等距行向量,即将[x1,x2]n-1等分。2、行列式和逆矩阵det(A)返回方阵A的行列式;inv(A)返回A的逆矩阵。3、矩阵除法左除法AB求解矩阵方程AX=B右除法B/A求解矩阵方程XA=B(1)当A为方阵，AB与inv(A)*B基本一致：(2)当A不是方阵，除法将自动检测。若方程组无解,除法给出最小二乘意义上的近似解，即使向量AX－B的长度达到最小；若方程组有无穷多解，除法将给出一个具有最多零元素的特解；若为唯一解，除法将给出解。例1解下

10、列方程组»A=[12;3-2];»B=[1;4];x=AB求得唯一解»A=[121;3-21];»B=[1;4];x=AB求得一特解»A=[12;3-2:1-1];»B=[1;4;2];x=AB求得一最小二乘近似解»A=[12;-2-4];»B=[1;-2];x=AB不能直接求解»A=[12;-2-4;00];»B=[1;-2;0];x=AB仍可求一近似特解增加方程0x+0y=0例2线性方程组的通解解在无穷多解情况下可用三种方法求通解，●用rref化为行最简形以后求解；●用除法求出一个特解

11、，再用null求得一个齐次组的基础解系；●用符号工具箱中的solve求解。»a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];»b=[1;1;-1];[rank(a),rank([a,b])]»rref([a,b])»x0=ab,x=null(a)4、特征值和特征向量D=eig(A)返回方阵A的特征值构成的列向量；[V,D]=eig(A)返回方阵A的特征值构成的对角阵D和每个特征值对应的特征向量按列构成的矩阵V。其中每个特征向量都是模等于1的向量，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化。四、

12、实验例题例3某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费;生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费;创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界对地方铁路没有需求。解：这是一个投入产出分析问题。设x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产值,x3为铁路总产值,