《线性代数》课件

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1、§5向量空间封闭的概念定义:所谓封闭,是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合.例:试讨论下列数集对四则运算是否封闭?整数集Z有理数集Q实数集R向量空间的概念定义:设V是n维向量的集合,如果①集合V非空,②集合V对于向量的加法和乘数两种运算封闭,具体地说,就是:若a∈V,b∈V,则a+b∈V.(对加法封闭)若a∈V,l∈R,则la∈V.(对乘数封闭)那么就称集合V为向量空间.例:下列哪些向量组构成向量空间?n维向量的全体Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T

2、x2,…,xn∈R}集合V2={(1,x2,…,xn)T

3、x2,…,xn∈R}齐

4、次线性方程组的解集S1={x

5、Ax=0}非齐次线性方程组的解集S2={x

6、Ax=b}解:集合Rn,V1,S1是向量空间,集合V2,S2不是向量空间.定义:齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间.例:设a,b为两个已知的n维向量,集合L={la+mb

7、l,m∈R}是一个向量空间吗?解:设x1,x2∈L,k∈R,因为x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b)=(l1+l2)a+(m1+m2)b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b∈L所以,L是一个向量空间.定义:把集合L={la+mb

8、l,m∈R}称为由向量a,b所生成

9、的向量空间.一般地,把集合L={l1a1+l2a2+…+lmam

10、l1,l2,...,lm∈R}称为由向量a1,a2,...,am所生成的向量空间.例:设向量组a1,a2,...,am和b1,b2,...,bs等价,记L1={l1a1+l2a2+…+lmam

11、l1,l2,...,lm∈R},L2={m1b1+m2b2+…+msbs

12、m1,m2,...,ms∈R},试证L1=L2.结论:等价的向量组所生成的空间相等.alaL={la

13、l∈R}L={la+mb

14、l,m∈R}abcL={la+mb+gc

15、l,m,g∈R}lambgcablamba1a2L1={

16、l1a1+l2a2

17、l1,l2∈R}L2={m1b1+m2b2

18、m1,m2∈R}则L1=L2L3={m1b1+m2b2+m3b3

19、m1,m2,m3∈R}问题:L1=L2=L3?b1b2b3返回子空间的概念定义:如果向量空间V的非空子集合V1对于V中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的,则称V1是V的子空间.例:n维向量的全体Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T

20、x2,…,xn∈R}集合V2={(1,x2,…,xn)T

21、x2,…,xn∈R}解:V1是Rn的子空间,V2不是Rn的子空间.向量空间的基的概念定义:设有向量空间V,如果在V中能选出r个向量a1,

22、a2,…,ar,满足①a1,a2,…,ar线性无关;②V中任意一个向量都能由a1,a2,…,ar线性表示;那么称向量组a1,a2,…,ar是向量空间V的一个基.r称为向量空间V的维数,并称V为r维向量空间.向量空间向量空间的基向量空间的维数向量组向量组的最大无关组向量组的秩n维向量的全体Rn解:En的列向量组是Rn的一个基,故Rn的维数等于n.集合V1={(0,x2,…,xn)T

23、x2,…,xn∈R}解:En的后n-1个列向量是V1的一个基,故V1的维数等于n-1.n元齐次线性方程组的解集S1={x

24、Ax=0}解:齐次线性方程组的基础解系是S1的一个基,

25、故S1的维数等于n-R(A).n维向量的全体Rn解:En的列向量组是Rn的一个基,故Rn的维数等于n.集合V1={(0,x2,…,xn)T

26、x2,…,xn∈R}解:En的后n-1个列向量是V1的一个基,故V1的维数等于n-1.结论:若V1是V的子空间,则V1的维数不超过V的维数.n元齐次线性方程组的解集S1={x

27、Ax=0}解:齐次线性方程组的基础解系是S1的一个基,故S1的维数等于n-R(A).由a1,a2,...,am所生成的向量空间L={l1a1+l2a2+…+lmam

28、l1,l2,...,lm∈R}若a1,a2,...,am线性无关,则a1,a2

29、,...,am是向量空间L的一个基.若a1,a2,...,am线性相关,则向量组A:a1,a2,...,am等价于向量组A的最大无关组A0:a1,a2,...,ar从而L=L1={l1a1+l2a2+…+lrar

30、l1,l2,...,lr∈R}故向量组A0就是L的一个基,A0中向量的个数就是L的维数.由a1,a2,...,am所生成的向量空间L={l1a1+l2a2+…+lmam

31、l1,l2,...,lm∈R}解:L={l1a1+l2a2+…+lmam

32、l1,l2,...,lm∈R}向量组A:a1,a2,...,am等价于向量组A的最大无关组A0:a1,

33、a2,...,ar故向量组A0就是L的一个基,A0中向量的个数就是L的维数.一般

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