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时间:2019-06-24
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1、§2矩阵的运算例某工厂生产四种货物,它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示:试求:工厂在一年内向各商店发送货物的数量.其中aij表示上半年工厂向第i家商店发送第j种货物的数量.其中cij表示工厂下半年向第i家商店发送第j种货物的数量.解:工厂在一年内向各商店发送货物的数量一、矩阵的加法定义:设有两个m×n矩阵A=(aij),B=(bij),那么矩阵A与B的和记作A+B,规定为说明:只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.知识点比较交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设A、B、C是同型矩阵设矩阵A=(aij),记-A=(-aij
2、),称为矩阵A的负矩阵.显然设工厂向某家商店发送四种货物各l件,试求:工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量.例(续)该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表:其中bi1表示第i种货物的单价,bi2表示第i种货物的单件重量.解:工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量其中bi1表示第i种货物的单价,bi2表示第i种货物的单件重量.二、数与矩阵相乘定义:数l与矩阵A的乘积记作lA或Al,规定为结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设A、B是同型矩阵,l,m是数矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.知识点比较其中aij表示工厂向第i家商店发
3、送第j种货物的数量.例(续)某工厂生产四种货物,它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为:这四种货物的单价及单件重量也可列成数表:其中bi1表示第i种货物的单价,bi2表示第i种货物的单件重量.试求:工厂向三家商店所发货物的总值及总重量.解:以ci1,ci2分别表示工厂向第i家商店所发货物的总值及总重量,其中i=1,2,3.于是其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量.其中bi1表示第i种货物的单价,bi2表示第i种货物的单件重量.可用矩阵表示为一般地,一、矩阵与矩阵相乘定义:设,,那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵,其中并把
4、此乘积记作C=AB.例:设则知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.例P.35例5结论:矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵,却有,从而不能由得出或的结论.矩阵乘法的运算规律(1)乘法结合律(3)乘法对加法的分配律(2)数乘和乘法的结合律(其中l是数)(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1,即推论:矩阵乘法不一定满足交换律,但是纯量阵lE与任何同阶方阵都是可交换的.纯量阵不同于对角阵(5)矩阵的幂若A是n阶方阵,定义显然思考:下列等式在什么时候成立?A、B可交换时成立四、矩阵的转置定义:把矩阵A的
5、行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作AT.例转置矩阵的运算性质例:已知解法1解法2定义:设A为n阶方阵,如果满足,即那么A称为对称阵.如果满足A=-AT,那么A称为反对称阵.对称阵反对称阵例:设列矩阵X=(x1,x2,…,xn)T满足XTX=1,E为n阶单位阵,H=E-2XXT,试证明H是对称阵,且HHT=E.证明:从而H是对称阵.五、方阵的行列式定义:由n阶方阵的元素所构成的行列式,叫做方阵A的行列式,记作
6、A
7、或detA.运算性质证明:要使得
8、AB
9、=
10、A
11、
12、B
13、有意义,A、B必为同阶方阵,假设A=(aij)n×n,B=(bij
14、)n×n.我们以n=3为例,构造一个6阶行列式令,则C=(cij)=AB.从而.定义:行列式
15、A
16、的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.元素的代数余子式位于第j行第i列性质性质证明(设A,B为复矩阵,l为复数,且运算都是可行的):六、共轭矩阵运算性质当为复矩阵时,用表示的共轭复数,记 ,称为的共轭矩阵.
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