12.3.1等腰三角形的判定.

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1、12.3.1等腰三角形的判定等腰三角形有哪些什么性质？1.等腰三角形的两底角相等．（简写成“等边对等角”）ABC∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）复习2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）ABCD∵AB=AC，BD=CD（已知）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知）∵AB=AC，AD⊥BC（已知）∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC（三线合一）∴BD=CD，AD⊥BC（三线合一）∴BD=CD，∠BAD=∠CAD（三线合一）如图，位于在海上A、

2、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？探究ABC在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC．证明DCAB如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．结论∵∠B=∠C（已知）几何语言：∴AB=AC（等角对等边）等腰三角形的判定定理：（简写成“等角对等边”）ABCDE1.已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠

3、A=36°,请同学们想一想，如何添一条线，将等腰三角形ABC分成两个等腰三角形？成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角形？还可以继续吗？以下步骤重复下去即可！只要做∠B的角平分线即可！只要再做∠BDC的角平分线即可！思维发散还有其他办法吗?2.请把这个三角形纸片折成两个三角形使其中一个是等腰三角形.ACB50°110°20°1、对∠A进行讨论2、对∠B进行讨论3、对∠C进行讨论CABACB20°20°20°20°CAB50°50°CAB80°80°20°CAB65°65°50°CAB35°35°

4、110°（分类讨论）ACB50°110°20°CAB50°50°例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：求证：应用如图,∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2,AD∥BC．AB=AC．证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B,∠2=∠C又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC.（等角对等边）角等边等判定性质说明：变式：已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．说明：一般地，在角平分线与平行线组合的图形中会有等腰三角形.变式2：如图,在△A

5、BC中,EB平分∠ABC,EC平分∠ACB的外角,过点E作EF∥BC交AB于D,交AC于F,请问：线段DB、CF和线段DF之间有什么等量关系？证明你的猜想．练习：1.在△ABC中,已知,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.过点O作直线EF//BC交AB于E,交AC于F.（1）请问图中有多少个等腰三角形?说明理由.（2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系?若有，是什么关系?AB=ACAB≠ACBOCAEF（3）若AB=15，AC=12，求△AEF的周长．练习2.如图,把一张矩形的纸沿对角线折叠.重

6、合部分是一个等腰三角形吗？为什么？例2.如图，△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°，AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:∠ADC=∠BDE.D变式：两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME、MC.试判断△EMC的形状，并说明理由．ＭＢＣＡＥＤ已知点A（0，2），B（5，3），P是x轴上的一点，当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．综合运用-2-112A3B(5,3)

7、xyA'HOP解：作点A关于x轴的对称点A'，直线A'B与x轴的交点P，就是使PA+PB的值最小的点．过B作BH⊥y轴于H点，则OH=3，BH=5，∴A'H=BH=5，∴OP=OA'=2∴点P坐标为（2,0）．∴∠A'PO=∠A'BH=45°∴∠HA'B=∠A'BH=45°又∠A'OP=90°这节课你学到了什么?1.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.2.一般地，在角平分线与平行线组合的图形中会有等腰三角形.3.等腰三角形的判定定理是证明线段相等的一种重要的方法.如图,

8、△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线上一点,且BD=CE,DE交BC于G.求证：DG=EG.BGCEAD★★思考题：